极值原理

古代哲学家已经知道反射*光线是沿着一条最短的可能路线从光源经由反射面传向无穷远处的。1661年费马（Pierre Fermat, 1601—1665）根据光沿着花费时间最小的道路传播这一原理，推出了光的折射定律，他说：*自然界“总是以最简方式行动的”。由于费马需要事先假定光在稀疏媒质中传播较快，因而就与笛卡儿（Descartes ,1596—1650）的观点恰好相反。 十八世纪，光微粒说的拥护者继承了笛卡儿的理论。1744年，莫培督（ Pierre Maupertuis，1698—1759 ）又为该理论加上了他自己的极小值原理。他声称，他的极小值原理彻底摧毁了“费马已经建立的整个大厦”。莫培督用“作用量”，即质量、速度和路程的乘积代替时间，因此费马的∫ dt就自然变为m ∫ vds。由于两个被积函数是互为倒数，因此莫培督和费马的最小作用原理会给出同样的结果。莫培督声称，他的最小作用原理适用于一切运动，既适用于力学系统，也适用于光：“无论何时在性质上发生了变化，则促成这种变化所需要的作用量始终是最小的”〔参看其著作（Oeuvres Ⅱ , 273 ）〕，他坚信他的原理证实了上帝的存在和智慧。 早在若干年前，欧拉（ LeonhardEuler, 1707—1783）就注意到，在一个确定的力学系统里，作用量会达到极值，而在一个不稳定平衡系统里，作用量则达到极大值。对欧拉来说，这个原理并不是先验的，而是由运动方程导出的自然结果。欧拉和拉格朗日（Joseph Lagrange,1736—1813）都指出，这个原理只适用于*活力守恒的系统。 最小作用量原理被哈密顿 （ William Harinilton, 1805—1865）在1832—1833年间应用到光学领域，并将其作为动力学的基础。他证明，当光路线的起始点沿着与光线垂直的表面变化时，则终点落在与光线垂直的表面上，他把这个表面称为“恒定作用面”。相应的积分∫nds（其中n是折射率）具有的性质与力学作用时该积分所具有的性质完全相同。从恒定作用面的存在，哈密顿推导出光线起始点和终点的“特征函数” V。 V是“光学作用量”，在哈密顿的力学里，它是在构形空间内从起点到终点运动的系统的作用量。 哈密顿的方法已经被用到*量子力学的表述中，他对光学和力学所作的周密类比，对于波和粒子不加区分的理论来说，具有极大的优越性。 还可参看力学（mechanics） 参考文献P．Brunet，Etude historique sur la principe de la moindre action （Paris, 1938）．P. Jourdain，‘Maupertuis and the principle of least action ,’Monist， 22: Ⅰ（1912） 414—59.J. Synge, ‘Hamilton ’s method in geo- metrical optics,’Journal of the Op- tical Society of America，27（1937） 75—82. TSF著 宋子良译