极大值原理

求解控制系统最优控制的定理。由庞特里亚金（C.）于1956年提出。是经典变分法的推广，能解决经典变分法不易解决的问题。它给出了解决最优控制问题的一个必要条件，通过此条件可求得最优控制及相应的状态最优轨线。该原理内容为：设系统的状态方程为x=F （x，u，t）选择性能指标为式中x，u—分别为系统的状态向量和控制向量； F， L一都是自变量x， u， t的连续函数。 要寻找一个最优容许控制u（t），在系统由初始状态运行到给定状态时，J具有最小值。 若u*（ t）为最优控制，x*（t）为状态最优轨线，则必存在一个非零的连续向量函数ψ*（t），满足正则方程（哈密顿方程）组，即式中H—哈密顿函数，是引进的辅助函数。其定义为 H （x，ψ，u，t）=—L（x，u，t）+ψτF（x，u，t）哈密顿函数在最优控制u（t）=u*（ t）作用下取最大值，即式中U一容许控制集合。对于不同的终端目标，其边界条件不同： （1）若给定x（t0）=x0，x （tt） =xt，即为固定端点控制问题，则正则方程组的边界条件为 x（t0） =x0，x（tf）=xf （2）若给定x （t0） =x0，x(tf）自由，即为自由端点控制问题，则正则方程组的边界条件为 x（t0） =x0，ψ（tf）=0 （3）若初始时刻t0给定，终端时刻tf自由，即为自由端点时间控制，这就多了一个独立参数tf，对于上述（1 ）、（2）给定的边界条件下，需补充一个条件，如下面的关系式： H〔x（tf），ψ（t），u（tf）， tf〕=0由此式就可确定终端时刻tf。 利用极大值原理求解控制系统的最优控制的步骤为：由哈密顿函数取极大值解出最优控制u*=u（x*，ψ*，t），将它代入正则方程组，再应用边界条件解出状态最优轨线x*（t）和向量函数最优轨线Ψ*（t），最后将x*和ψ*代入u*=u（x*，ψ*，t）便得到最优控制u*（t）。 利用所求得的u*（t）只能实现开环控制，适应性差。为了实现闭环控制，可将u*（ t）变换成状态变量的函数u*（x，t），这就是最优控制的综合。这样的控制便于根据实时状态来确定各时刻应加的控制，有利于控制方案的实现。