数学哲学

（philosophy of mathematics）关于数学发生和发展的一般规律的学问．它主要研究数学的对象、性质和方法的本体论、认识论和方法论问题．它是数学与哲学的交叉学科，属于哲学的一个分支学科． 客观事物具有质与量的规定性，是质与量的对立统一.数学与自然科学的区别在于它的研究对象的特殊性：数学不直接研究事物的规定性，而是研究事物的量的规定性；自然科学则是以物质世界为直接研究对象，具体地研究客观物质的质的规定性．因此，从这个意义上说，数学是研究量的科学．但是，数学研究的量是存在于具体事物中的抽象的量，例如，自然数、实数、三角形、圆、常量、变量、结构等．它们是对客观事物的量及其关系的抽象反映，它不能为感官所知觉，只能为思维所把握．数学对象的这种特殊性和抽象性对于数学哲学是至关重要的．正是由于这种特殊性和抽象性才导致一系列不同于“科学哲学”或“自然辩证法”（现称“科学技术哲学”）的特有的数学哲学研究对象和范围． 数学对量的认识是不断深入的，或者说不断揭示出量的新的表现形式的，因此数学哲学必须从该时代所揭示出来的量的具体表现形式中，概括出该时代数学研究对象的特点，以回答该时代数学是什么的问题．例如，亚里士多德（Aristotle）把古代数学的研究对象概括为数量，说明古代数学是研究数量的科学；恩格斯（Engels，F.）把近代数学的研究对象概括为现实世界的空间形式和数量关系，说明近代数学是研究数与形的科学；布尔巴基学派把现代数学研究对象概括为结构，说明现代数学是研究结构的科学．这些概括准确地反映了不同时代数学研究对象的特点． 由于数学对象的特殊性和抽象性，以及这种抽象性随着数学的发展而不断提高，所以在数学哲学史上出现过数学对象如何存在，它的存在性和客观性，以及更一般地，数学存在性是什么的问题，这些问题至今仍然是数学哲学讨论的．数学对象的存在性和客观性是数学哲学研究的重要问题． 认识对象决定着认识方法．数学对象的特殊性和抽象性，产生数学研究方法的特殊性．自然科学是研究具体的物质事物，可以通过观察、实验和归纳来研究；数学是研究抽象的思想事物，它除了应用观察和实验的方法外，还必须应用演绎法；自然科学的成果只要通过实验证实，就可以得到人们的承认；而数学的成果则必须通过演绎证明才能得到数学界的承认，所以数学特有的研究方法成为数学哲学的一个重要研究对象． 正是数学存在着特有的认识方法——演绎法，才在数学性质问题上产生不同的看法：数学是演绎科学还是经验科学？数学发展的动力是实践还是逻辑？抑或是二者的辩证统一？检验数学理论真理性标准是实践还是逻辑证明？这类有关数学性质的问题是数学哲学必须探讨和回答的另一类重要问题．因此，数学的对象、性质和方法是数学哲学的主要研究对象．这些研究对象是随着数学的发展而变化的，所以作为研究数学发生和发展一般规律的数学哲学又不能不涉及数学的发展史． 既然数学哲学是研究数学的对象、性质和方法的本体论、认识论和方法论问题，从总体上把握数学发生、发展的一般规律，这就决定了它的学科地位和性质．数学哲学作为数学与哲学的交叉学科，它是处于数学与哲学的中间地位．数学是研究事物的量及其关系的具体规律，而数学哲学是研究数学发生、发展的一般规律，哲学则是研究自然、社会和思维的最普遍的规律，所以哲学、数学哲学和数学三者之间的关系是普遍、一般和特殊的关系． 数学哲学与数学是一般与特殊的关系．数学揭示的是某事物的量的具体的或特殊的规律；而数学哲学则是从数学的大量成果（历史的、现实的、认识的、思想的）概括和总结出数学发生和发展的一般规律，这种规律性的认识一般表现为数学观和数学方法论．数学是数学哲学研究的基础和根据，从这个意义上说，没有数学就没有数学哲学．另一方面，数学哲学又通过一定的数学方法论影响着数学的发展．数学史上的大量事实说明，这种影响既有正面的，又有负面的．一般说来，凡是正确地反映数学发展规律的数学观和方法论可以促进数学的发展；凡是错误地反映数学发展规律的数学观和方法论总是阻碍着数学的发展．因此，作为一个数学哲学家必须严肃认真地研究数学发展的规律，为数学家提供正确的数学观和方法论．作为一个数学家必须在纷繁的哲学观点中选择正确的数学观和方法论． 数学哲学与哲学是一般与普遍的关系．数学哲学研究的是数学发展的一般规律，而哲学研究的是自然、社会和思维的最普遍规律，所以哲学概括出来的规律比数学哲学概括出来的规律更普遍，包含着数学的一般规律．因此，虽然数学哲学是建基于数学之上，但又往往受一般哲学思想的影响．另一方面，数学哲学的研究成果为哲学的发展提供新的养分，可以丰富和发展哲学．哲学史上的大哲学家常常直接参与研究数学哲学或者吸收数学哲学的最新成果，为自己的哲学观点提供数学根据，从而丰富和发展哲学．数学哲学的研究还与科学哲学、自然辩证法（或科学技术哲学）和数学基础等学科有着密切的关系． 作为研究数学发生和发展的一般规律的数学哲学，与数学同样有着悠久的历史．不过，它与任何事物一样，有其从孕育到独立发展的过程．尽管数学哲学早已存在，但它在20世纪之前，还只是附在哲学的母体之中，处在孕育阶段．这时的数学哲学研究是零散的，而且是为其研究者的哲学观点服务的，为其哲学观点提供数学例证． 20世纪初兴起的西方科学哲学是以科学活动和科学理论为对象，探讨科学的本质、科学知识的获得和检验、科学理论的逻辑结构等有关科学认识论和方法论问题．科学哲学把数学作为自然科学的一部分，研究数学发展中的一些哲学问题，标志着数学哲学开始从一般哲学的母体中分离出来． 20世纪50年代，在中国建立的自然辩证法学科，是马克思主义关于自然科学的技术的理论成果的概括和总结，是与历史唯物主义相并列的一个哲学分支学科．自然辩证法同样把数学作为自然科学的一个部分，研究其中的一些哲学问题．这时，数学哲学虽然从一般哲学分离出来，但仍然附属于科学哲学或自然辩证法，还没有真正获得独立发展． 使数学哲学研究发生革命性变化的是集合论悖论引起的数学基础危机．19世纪末，集合论被公认为是数学的基础．当数学家们为数学推理有了可靠基础而欢欣雀跃的时候，数学家发现了集合论悖论．开始是个别的，后来越来越严重，特别是英国哲学家、数学家罗素（Russell， B. A. W.）于1902年在集合论中发现著名的罗素悖论，从根本上动摇了数学基础．为了给数学重新奠定牢固的基础，一 些数学家和逻辑学家从各自的数学观出发，提出解决数学基础问题的不同方案，形成数学基础研究的三大学派：逻辑主义、直觉主义和形式主义．因此，当时的“数学基础”一词有其特定的含义，它包含两方面的内容：数学观和解决悖论的具体方案，即数学哲学和数学．这样一来，在此后的一段时间内，无论是中国或外国都把“数学基础”作为“数学哲学”的同义语．它标志着数学哲学第一次从哲学母体中真正分离出来，研究数学自身发展的哲学问题，并直接为数学的发展服务．这时，数学哲学虽然从一般哲学的母体中分离出来，可是，它又从属于“数学基础”、“科学哲学”或“自然辩证法”．现在，数学哲学正经历着第二次分离，即从“数学基础”、“科学哲学”或“自然辩证法”分离出来，成为独立的一个哲学分支学科． 随着数学基础研究的深入，解决悖论的具体方案已经发展成数理逻辑，成为数学的一个独立分支学科.这时在西方，“数学基础”成为数学哲学的代名词．1972年，美国出版的《哲学百科全书》中没有设置“数学哲学”条目，而只设置了“数学基础”，它的内容包括：公理化方法、认识论讨论、柏拉图主义和构造主义、数理逻辑（哥德尔不完全性定理、希尔伯特方案的发展和公理集合论）. 1980年出版的《大英百科全书》第15版，也没有设置“数学哲学”条目，同样只设置了“数学基础”条目，其内容包括：公理方法、发生方法、1900年以后的基础危机（悖论、直觉主义、逻辑主义、形式主义和元数学方法）、当前的倾向（直觉主义的数学基础、数学基础的非直觉主义研究）等．它们所列的“数学基础”的内容大都属于数学哲学研究的内容．这说明直到20世纪70年代，西方一般还使用着“数学基础”，没有正式给它起个名字．但是，已经有人开始把研究数学发生、发展的一般规律的学问称为“数学哲学”了．例如，巴克尔（Barker，S.）的著作就直接以“数学哲学”作为书名．美国数学哲学家宾纳塞拉夫（Benacerraf， P.）和普特南（Putnam， H.）于1964年编辑的一部论文集，也直呼《数学哲学：选读》．因为它是选择19世纪末以来有关数学哲学的一些代表性论文，所以加了“选读”二字．这部《数学哲学：选读》把所选的论文划分为4类：数学基础、数学对象的存在性、数学的真理性和维特根斯坦论数学．这种划分反映了当时一些数学哲学家对数学哲学的看法，即数学哲学已经不再局限于研究数学基础的哲学问题，而是研究数学的本体论、认识论问题．林夏水在《数学哲学的对象和范围》（《自然辩证法研究》，1988年第3期）一文中，根据数学哲学研究对象的变化，提出数学哲学不能再寄名于“数学基础”之下，而应该成为独立的哲学分支学科．这是因为，随着数学基础问题研究的深入，它已经发展分离出数理逻辑的专门学问，它属于数学的一个分支学科．“这样，数理逻辑从数学基础分离出去以后，数学哲学继续留在数学基础的名下，也就显得名不正言不顺了．”因为“数学基础问题的提出，其本意是要解决数学的推理基础问题的，它应该属于具体科学的任务”．此外，“数学基础并不能包括数学哲学的全部内容，而且数学发展到如此丰富的内容，我们也有必要从哲学上做专门的、全面的反思，总结出带有普遍性的问题，作为数学继续发展的借鉴．因此，应该把数学哲学作为一门独立的哲学学科来进行研究”． 数学哲学不能再寄于“数学基础”之名下，那么它是否可以放在“自然辩证法”之中呢？不能，因为根据中国自然辩证法课程的教材《自然辩证法概论》（国家教委社会科学研究与艺术教育司组编，高等教育出版社1991年修订版，供理工农医类硕士研究生使用）一书所说的，自然辩证法是“关于自然界和科学技术发展的一般规律以及人类认识和改造自然的一般方法的科学”．可是，尽管数学作为一门科学，它与自然科学一样，存在着一些共同性的哲学问题，但是，数学在科学分类上，不属于自然科学，有其自身特有的科学问题．它们并不表现为共性与特殊性的关系．因为数学研究对象的特殊性以及它比自然科学的研究对象广泛得多，所以研究自然科学的哲学问题的自然辩证法不可能包括研究数学的哲学问题的数学哲学．例如，自然科学家一般不会认为他们的研究对象是不存在的．但是，在数学哲学中，关于数学对象是什么、它是否存在、如何存在这类本体论问题的争论从来就没有停止过．在认识论上由于数学的研究对象不同于自然科学，产生了研究方法的不同．研究方法的不同便引出了一系列长期争论的问题，例如，数学是经验科学还是演绎科学？数学发展的根本动力是实践还是逻辑？检验数学理论的真理性标准是什么？逻辑证明在数学发展中的作用和地位怎样？它与实践检验的关系如何等？这些问题并不是一般的自然观、科学技术方法论和科学技术观所能包括或替代的．因此，数学哲学已经到了从自然辩证法分离出来，独立地研究自身的问题的时候了． 数学哲学能不能包括在科学哲学中呢？不能．因为科学哲学是以科学活动和科学理论为研究对象，探讨科学的性质、科学知识的获得和检验、科学的逻辑结构等有关科学认识论和方法论的基础问题．具体地说，它主要研究科学方法论、科学合理性理论、元科学和基础研究四个方面．根据上面关于数学研究对象的特殊性所引起的数学哲学研究的特有的问题，显然它们也不是科学哲学所能包括的．因此，数学哲学也不能寄托在“科学哲学”的名下． 既然数学哲学不能再寄于“数学基础”、“自然辩证法”或“科学哲学”之名下，那么它应该成为一门独立的哲学分支学科．上面所论述的数学哲学的研究对象和理论框架，正是作为一个分支学科独立发展的标志． 数学哲学虽然与科学哲学或科学技术哲学相并列，但它们有着密切的关系．上面所说的数学哲学与科学哲学或科学技术哲学的血缘关系，正是这种密切关系的反映．数学作为一门科学，它是科学的一部分，所以研究科学认识论和方法论的科学哲学所得到的成果对数学哲学有一定的借鉴意义；另一方面，数学哲学的成果对于科学哲学、自然辩证法也有一定意义，前者是后者的深化． 至于数学哲学与哲学意义上的数学基础的关系，那是一般与个别的关系．因为数学基础的哲学问题固然是数学哲学的重要部分，但它并不能反映整个数学哲学概况．数学哲学不仅要时刻关心和研究数学基础研究中提出的哲学问题，而且要关心和研究整个数学发展提出的哲学问题，特别是数学前沿提出的哲学问题