数学问题

（Mathmatische Probleme）德国数学家希尔伯特（Hilbert， D.）于1900年在巴黎第二届国际数学家大会上所作的著名演讲．其中阐述了数学问题在数学发展中的重要意义、数学问题产生的源泉、对数学问题解答的一般要求及解决数学问题的方法，反映了希尔伯特对数学问题的深刻认识．尤为重要的是他根据19世纪数学发展的状况提出了23个当时尚未解决的重要的数学问题，展现了20世纪数学的曙光．20世纪的数学发展证明，这些问题涉及现代数学的许多重要领域，成为20世纪数学家兴趣的中心．数学家们经常通过检验当时希尔伯特问题的解决程度来衡量他们所取得的进步，它对20世纪数学的发展产生了深远影响．23个数学问题分列如下： 1．康托尔（Cantor， G. （F. P. ） ）连续统基数问题. 1963年获得解决．科恩（Cohen，P.J.）证明：连续统假设的真伪在策梅洛-弗伦克尔公理系统内无法判明．希尔伯特提到的良序问题由策梅洛（Zermelo，E. F. F.）完成． 2．算术公理的相容性．希尔伯特的设想后来发展为系统的“希尔伯特计划”（“元数学”或“证明论”），但1931年哥德尔（Godel， K.）的不完备性定理指出了用元数学证明算术公理相容性之不可能． 3．只根据合同公理证明两个等高等底的四面体体积之相等是不可能的．希尔伯特的学生德恩（Dehn，M. W. ） 1900年便给出了该问题的证明． 4．直线作为两点间最短距离的问题．该问题太笼统．许多数学家在构造和探讨各种特殊度量几何方面有很大进展，但问题并未完全解决． 5．拓扑群成为李群的条件．1952年解决．格利森（Gleason，A. M.）、蒙哥马利（Montgomery， D.）、齐平（Zippin，L.）等人给出了肯定解答． 6．物理公理的数学处理．公理化物理学的一般意义不明确．在量子力学等学科，公理化方法已取得很大成功．希尔伯特首先提到的概率论的公理化已由柯尔莫哥洛夫 1933年完成． 7．某些数的无理性与超越性．从西格尔（Siegel，C. L. 1921 ）、盖尔丰德（）到贝克（Baker， A. 1966—1969）这类问题得到成功的处理． 8．素数问题．黎曼猜想仍未解决．哥德巴赫猜想亦未最后解决，目前最好的结果属于陈景润（1966）. 9．任意数域中最一般的互反律之证明．已由高木贞治（1921）和阿廷（Artin，E. ）1927年解决． 10．丢番图方程可解性的判别．1969年马季亚谢维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的． 11．系数为任意代数数的二次型．哈塞（Hasse，H. 1929）和西格尔（Siegel， C. L. 1936，1951）获得了重要结果． 12．阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域．这方面已做了很多工作，但问题远未解决． 13．不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程．要求连续函数情形已由阿诺尔德（Arnold，V. I. 1957）解决，解析情形仍未解决 14．证明某类完全函数系的有限性．1958年永田雅宜给出了否定解答． 15．舒伯特（Schubert， H. C. H.）计数演算的严格基础已由范·德·瓦尔登（Van der Waerden，B.L. 1938 —1940）和韦伊（Weil，A. 1950）建立，但舒伯特演算的合理性仍未解决． 16．代数曲线与曲面的拓扑．结果仍然很零散． 17．正定形式的平方表示．已由阿廷（Artin，E. ）于1926年解决． 18．由全等多面体构造空间．比伯巴赫（Bieber-bach，L.）和哈约什（Ha jos ， G. 1941）等解决了问题的一部分． 19．正则变分问题的解是否一定解析．已取得一些特殊结果． 20.一般边值问题． 21．具有给定单值群的线性微分方程的存在性．已由希尔伯特本人（1905）解决． 22．解析关系的单值比．一个变数的情形由克贝（Koebe，P. 1907）解决． 23．变分法的进一步发展．希尔伯特本人和许多其他数学家对变分法的发展做出了重要贡献． （参见本卷《数学名题与猜想》中的“希尔伯特数学问题”）．