印度数学

（Hindu mathematics）数学史专门术语．印度是世界上文化发达最早的地区之一.考古研究证明，早在公元前3000年左右，印度河流域就存在着具有高度文明的奴隶制城邦，以摩亨卓·达罗遗址最为著名．从建筑遗迹和某些出土文物，如彩陶、雕塑品、贝壳，以及各种印章上刻的古代铭文中，可以发现古代印度的某些数学知识． 在印度，数学的发展始终与天文学密切相关，数学作品大都是天文学著作的某些篇章．最早的数学文献《绳法经》出现在吠陀时期，属于古代婆罗门教的经典，专讲祭祀礼仪，其中的数学知识比较零散，大都是关于祭坛的建造问题，利用绳子和竹竿给出制作几何图形的确定法则．包括正方形、直角三角形、矩形和梯形等直线形的作法，以及如何从面积为a的正方形出发做出面积为na的正方形，把直角三角形改为等积的正方形，化圆为方和化方为圆等．在这些几何问题中，广泛地应用了勾股定理．《绳法经》中还给出了■的近似值，精确到小数点后第6位． 在《绳法经》之后的大约1000年内，由于缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少．公元5至16世纪，印度数学获得了较大的发展，其成就在世界数学史上占有重要地位．在这个时期出现了一些著名的学者，如6世纪的阿耶波多第一（Aryabhata Ⅰ），著有《阿耶波多历数书》；6世纪的瓦拉哈米希拉（Varahamihira， M.），著有《五大历算全书汇编》，其中最重要的一部是《太阳的知识》；7世纪的婆罗摩笈多（Brahmagupta ），著有《婆罗摩笈多历算书》 ； 9至10世纪的马哈维拉（Mahavira）和施里德哈勒（Sridhara） ；12世纪的婆什迦罗第二（Bhaskara Ⅱ），著有《天文系统极致》等．除了上述数学著作之外，1881年在印度西北部出土了一份写在桦树皮上的数学手稿，一般认为是6—8世纪的作品，称为《巴赫沙里手稿》，也是一种重要的印度数学文献． 从公元前4世纪起，在印度开始出现书写数字．例如在现今的阿富汗地区和旁遮普北部，在当时流行所谓的音节数字，这是一种十进非位值制系统，它与古印度的音节文字有关．在印度领土上，长期以来广泛使用婆罗门数字，这是十进位记数法发展的较高阶段，其书写形式保持了1000多年．典型的婆罗门数字如下 在印度，整数的十进位值制记数法产生于8世纪以前．用9个数码字和零号，借助于位值制可以写出任何数字．零在梵文中是Sunya，即“空的”意思．印度人不仅把数字0看成是“一无所有”或空位，还把它视为一个数来参加运算，这是印度算术的一大贡献．印度人用新记数法建立了算术运算，包括整数和分数的四则运算、开平方和开立方的法则等．7世纪著名的数学家婆罗摩笈多较完整地记述了关于零的各种运算；当零作除数时，产生了类似无穷大的概念等．印度人创造的这套数字和位值记数法在8世纪下半叶传入阿拉伯世界，被阿拉伯人采用并改进．在13世纪初，经斐波那契（Fibonacci， L.）的《算法之书》（1202）流传到欧洲，成为现代印度-阿拉伯数码及其记数法的早期形式． 印度人对代数学做出了重要贡献．他们用一些符号表示运算，并用缩写文字表示未知数，其符号比丢番图（Diophantus）所使用的还要优越，这使得印度代数几乎称得上是符号性的代数．印度人还引进了负数，在婆罗摩笈多的著作中说明了负数的加法和减法法则．12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了负数的乘除法法则他还认识到正数有两个平方根，因此求出二次方程的两个根．印度人在不定方程方面取得很大成就，他们创立了独具特色的方法．例如，婆什迦罗第二解方程ax＋b=cy的过程与现代借助于连分数的解法相同．他和婆罗摩笈多还研究了二次方程y2＝ax2＋b及其特殊情形y2＝ax2＋1（今称佩尔方程）的解法．在婆什迦罗第二的著作中载有所谓百禽问题，相当于解不定方程组： 这个问题与中国古代的《张丘建算经》中的“百鸡问题”类似，可能是由中国传入印度的印度学者还解决了一些其他类型的不定方程．印度学者在精通算术级数性质的基础上，研究了各种级数，如以算术级数各项的平方、立方以及部分和为通项的级数，建立了各种级数的求和法，还探讨了某些递归序列的性质及一些有趣的排列组合问题等． 在三角学方面，印度人的工作晚于其他学科，但他们所做的工作十分重要．印度天文学的发展推动了三角学的进步．印度学者首先用半弦，即圆周角的正弦取代了希腊人的全弦．这一转化有深远的意义，因为这样一来很自然地引进了与直角三角形的边和角有关的各种三角函数．阿耶波多第一的著作中已出现了正弦、余弦和正矢函数，他还称正弦为jiva，即猎人的弓弦的意思，后经阿拉伯世界传入欧洲，转译为拉丁文的“胸膛”——sinus，后演变成sine．瓦拉哈米希拉还证明了一些简单的恒等式．婆什迦罗第二给出了两角和与差的正弦法则，他还利用代数知识来解直角三角形．由于天文学的需要，印度人制造了一些三角函数表．阿耶波多第一把圆周分为21600份，取半径为3 438个单位，制作了从0°到90°每隔22. 5′的正弦和正矢表．在计算过程中，取π＝3. 1416. 15世纪的印度数学家尼拉坎塔（N i-lakantha）利用后来称为无穷小分析的方法建立了π的无穷级数展开式和反正切函数的展开式，他还导出了相当于的结果，可惜他的工作没有发展为近代数学． 印度人不像希腊人那样善于分析和论证．他们在几何学方面的贡献远没有在算术和代数方面的贡献大．他们不追求逻辑上严谨的证明，只注重发展实用的方法，因此算术和代数占有优势．在多数情形下，印度人显示出的几何知识都不如亚历山大时期的几何学家．在印度几何学中，很少见到命题的证明，多数情形是给出图形和指示语“请看！”．偶尔在图形旁边加上简短的说明．例如，关于三角形面积的定理由图中给出印度几何学侧重于面积和体积的计算，给出了各种几何体，如圆锥、圆台等体积的近似公式．婆什迦罗第二还给出棱台、球表面积和体积的精确公式，他给出的勾股定理的证明十分巧妙．婆罗摩笈多推广了关于三角形面积的海伦公式，导出了圆内接四边形的面积公式其中a、 b、 c、 d为四边形各边长，p =（a+b＋c＋d）/2．印度数学在文艺复兴时期经伊斯兰世界传入欧洲，其十进位值制记数法、一系列代数和数论方法，以及三角学的开端等，对欧洲数学的发展产生了较大的影响．