数学直觉

（ mathematical intuition）数学哲学的基本概念．这是一种不包含普通逻辑推理过程（但可能包含“合情推理”形式）的直接悟性，属于非形式逻辑的思维活动范畴．数学直觉思维具有非逻辑性，数学直觉的产生无法用普通形式逻辑的推演解释清楚．它还具有自发性，它的产生往往是下意识的．数学直觉的产生前后，富于情感的作用，包括获得直觉的激情和对直觉激情的强烈信念． 数学直觉可划分为辨识直觉、关联直觉和审美直觉三种类型．辨识直觉解决的是一个新想法是否有价值，是否值得去展开的问题；关联直觉解决的是不同知识领域之间，包括已知和未知领域之间内在联系的问题；审美直觉解决的是新想法是否符合数学美的要求的问题． 数学直觉本身是分层次的，这一点是由数学认识主体和客体两方面决定的．从主体方面看，由于数学直觉产生于已有的经验和知识素材，而经验有深度和广度上的差别，所以对于同一数学对象，不同认识主体可获得不同的直觉；从客体方面看，由于数学对象本身有抽象度的层次之分，对不同抽象层次的认识可获得不同层次的数学直觉． 数学直觉的产生，要以较长时间的自觉的逻辑思维为前提，要使思想达到饱和状态，达到获得关键性观念的边缘，然后借助外界的某种刺激或启示，实现思想上的飞跃，获得创造性的认识成果．获得数学直觉不存在经验的或机械的方法，但遵循以下几个指导性原则，可以更快更好地获得或选择数学直觉． 1．简单性原则，即相信数学的简单性常常和真实性联系在一起．爱因斯坦自称是“到数学的简单性中去寻找真理的惟一可靠源泉的人”．冯·诺伊曼（von Neumann，J.）等人也有类似论述． 2．统一性原则，即相信数学各部分内容之间存在着有机联系和内在统一.希尔伯特（Hilbert， D. ）特别看重这种有机联系，认为这是数学生命力之所在．数学的统一性表现为各种数学结构之间调和一致，各种数学方法融会贯通，各个数学分支之间相互渗透． 3．对称性原则，即相信在一定条件下已有数学成果可以系统地、同构地拓广到其对称领域中去．这里所说的对称不仅指几何图形的对称，也包括各种数学概念、定理以至分支学科的对称． 4．奇异性原则，即相信数学对象的不能用任何现成理论解释的特殊性质的发现，不仅是数学发展中所必需的，而且可能导致重大的理论突破．在数学史上，只有不断发现数学对象的奇异性，才能深入到已有理论框架无法接触的未知世界．另一方面，只有不断把发现了的数学对象的奇异性统一起来，考察其种种对称现象，数学理论才会形成完整的体系． 数学直觉在确定数学研究方向上有启示作用，在选择有价值的数学事实和观念上有指导作用，在丰富数学相象能力方面有激发作用．数学直觉提供数学认识活动的生动素材，供逻辑思维加工，形成思想成果．数学直觉在数学的发现和发明中占有优势地位，始终引导着创造性的数学思维过程．