数学实验

（mathematical experiment）数学哲学的基本概念．指一种由计算机科学的发展而产生的新的数学研究方式．一般数学实验包括： 1．建立数学模型； 2．拟订分析模型的数值方法； 3．用计算机语言编制实现分析方法的程序； 4．用电子计算机执行程序． 数学实验是与数学模型相联系的．现象的数学模型和传统的边界条件，把说明被研究客体性质的一切量的值都联系起来了．这种联系揭示了动态模型所描述的理想客体的行为．人们把这种揭示联系的过程称为求解微分方程、线性方程或进行数学模型分析等．这种保证研究成功的分析方法，实质上是依靠各类确定模型的特殊性质．随着实践所提出来的任务越来越复杂，相应的数学模型也越来越复杂，以至人们被迫不断地简化模型，或者删去模型中某些因素来达到可计算结果的目的．这种简化是有害的，但又迫不得已，有时等于对被研究现象的性质做出了某种假设．由于电子计算机的高速发展，为分析这类复杂任务开辟了全新的可能．数值方法不是以公式化的、明显的、最终的方式来揭示联系的方法，而是一种连续不断的近似方法，是最迅速地逼近于描述这种被研究的联系．循着这种逻辑认识，问题的解决可以根据模型的数量特征确定运算顺序，在多次重复迭代地运算中给出某些近似值．人们可以预先用计算机语言编制程序，规定计算机进行什么样的运算，应该按什么样的顺序来完成这些运算． 对于一个高度复杂的数学模型，在计算机上所进行的计算，使人们能“观察到”客体的进化轨迹．这种工作和实验很相近．只是这种无论是物理的、化学的、生物的实验装置被根据给定程序来工作的电子计算机所代替了．人们把描述公式对物理现象所做的计算称为数学实验．它与思想实验不同之处在于思想实验实质上是一种以逻辑的演绎推断手断来想象规律的纯态表现；数学模型所要求的前提是：对表征现实客体理想方式的理想联系的考察，被提高到了相当复杂的新水平，并且是以分析数学模型的理论资料为依据的．这种资料允许从组成模型的原始关系出发，导出使人们感到兴趣的、更明显地表现客体性质的新联系，例如，扩散、热传导、磁化的过程，就可以用形式上相同的一些方程来描述． 如果说20世纪前半叶的数学哲学主要是由集合论悖论引起的数学基础问题所支配，那么20世纪70年代以后的数学哲学则主要是由计算机引起的哲学问题所支配．四色定理的机器证明和分形几何的产生表明，计算机由数值计算扩大到数学定理的试探和证明，改变了数学研究方式，冲击着传统的数学观念，由此引起数学研究是否存在着实验等问题的争论． 过去数学家总是以推理论证的形式发表论文的，没有也不可能写出他在证明之前所做的大量试探、试验工作．因此造成一种假象，所谓数学就是一种推理论证，即证明，并且以此来衡量一篇论文或一种理论是不是数学，但是一些严肃认真地反思数学的认识过程的数学家已经认识到数学研究存在着两个阶段：实验和证明（当然，数学中的实验是一种抽象的思想实验，它不同于自然科学中实物实验；数学实验只是提出猜想和假说的一种方法，它还必须经过逻辑证明，才能使猜想或假说变成定理）．例如，英国数学家、菲尔兹奖获得者阿蒂亚（Atiyah，M. F. ）认为：“与其他自然科学的情况一样，数学中的 一些发现也要经几个阶段才能实现，而形式证明只是最后一步．最初阶段在于鉴别出一些重要的事实，将它们排列成有具体含义的模式，并由此提炼出看起来很有道理的定律或公式，接着人们用新的经验事实来检验这定律或公式．只是到了此时，数学家们才开始考虑证明问题．”麦克莱恩（Maclane， S.）更概括地说：“认识数学的顺序也许是这样的：直觉、试验、错误、推测、猜想、证明．这步骤的结合和顺序在不同的领域内会有很大的不同，但是有一种共识，就是最终的产品是严格的证明．”爱泼斯坦（Epstein，B.）和列维（Levy， S.）正是根据数学研究存在着实验这一事实，于1991年创办了《实验数学》季刊，并且得到数学界的好评．