数学认识论

（mathematical epistemology）数学哲学术语．指研究数学认识过程的特点和规律性的学问．数学作为对客观存在的事物的量的一种思维或认识，它与其他一切认识一样，遵循“认识——实践”的辩证唯物主义认识路线．另一方面，由于它的研究对象的抽象性和特殊性，又产生与自然科学不同的、特有的研究方法——演绎方法．自然科学的研究对象是具体的物质，所以可以应用观察、实验和归纳的方法；数学的研究对象是抽象的思想事物，它是看不见的，只能用思维来把握，所以它在探索性研究中除了使用自然科学的一般研究方法外，还必须应用演绎法，特别是在发表某一结果或定理时，不能用实验来证实，而只能用演绎法来证明．数学认识方法的这种特殊性，就产生思维与存在的关系这一认识论问题的争论，它在数学哲学中具体表现为关于数学性质和数学理论真理性的争论． 关于数学的性质．在现代数学产生以前，数学问题大多产生于生产实践，并且直接为生产或科学技术服务．尽管早在公元前3世纪，欧几里得（Euclid）建立起第一个公理系统，出现公理方法，一些数学家认为几何得出的结论比算术或代数更可靠，主张代数结果的正确性要通过几何证明来保证，但是还没有引起数学性质的哲学争论．其原因正如美国数学史家克莱因（Kline， M.）所说的：“从大约公元前200年起到1870年前后为止，几乎整个数学都建基于经验和实用的基础上，从明显的公理出发进行推理证明的观念早已看不见了．”当然，在近代，哲学史上的经验论与唯理论之争涉及数学是经验科学还是演绎科学的问题．笛卡儿（Descartes， R.）建立唯理论时，认为数学是一门理性的演绎科学．莱布尼茨（Leib-niz，G. W.）在批判英国哲学家洛克（Locke， J.）的经验论中，也论述过数学知识是先验的、必然的真理．德国哲学家康德（Kant，I.）为了调和经验论和唯理论，建立先验论哲学，论述数学是先天综合判断．19世纪中叶以后，数学进入现代发展阶段，开始分为纯粹数学和应用数学．一般所说的数学都是指纯粹数学，而纯粹数学表现为一系列的逻辑推理，表现为一种逻辑思维．这时，关于逻辑思维与存在的关系问题突显出来，产生了数学的性质是什么，或者说数学是演绎科学还是经验科学，抑或是拟经验科学这类认识问题的讨论．与此相关的产生了数学真理性的标准是实践还是逻辑上的相容性，以及实践检验和逻辑证明的关系的长期争论． 数学理论的真理性标准问题主要讨论数学理论作为一种认识、一种思维结果，要不要回到实践中证明自身的真理性，逻辑证明在数学认识中的作用，以及它与实践的关系如何．这些问题与数学性质的问题紧密联系．一般说来，凡是认为数学是经验科学的学者，都把实践作为检验数学理论的真理性标准；凡是认为数学是演绎科学的学者，都把逻辑上的无矛盾性作为检验数学理论真理性的标准．唯理论哲学家莱布尼茨认为：存在“推理真理”和“事实真理”，前者是必然的，后者是偶然的；与这两种真理相应的存在着两种推理原则：矛盾原则和充足理由原则；数学的推理基础是矛盾原则，所以数学真理是必然真理，而“必然真理是天赋的并且是靠内在的东西来证明的，而不能是像我们建立事实真理那样靠经验来建立的”在唯理论与经验论两种观点之外，在数学哲学史上还出现第三种观点，即拉卡托斯（Lakatos，I.）的拟经验论．他从研究数学的理论结构出发，提出数学理论是一个拟经验系统，从而说明数学是拟经验科学．对于这种拟经验系统的真理性，要受到两类潜在证伪者（逻辑证伪者和启发式证伪者）的检验．