数学本体论

（mathematical ontology）数学哲学术语．指研究数学对象及存在方式的学问．它研究的主要问题有：数学对象是什么？它的存在性和客观性如何？这是哲学上的本体论在数学哲学中的具体表现． 数学是研究量的科学，但是数学对量的研究并不是停留在一个水平上的，而是由浅入深地，不断揭示和研究量的不同表现形式的．就数学史来看，人们首先认识的是名数，它与事物的质相联系，然后才从不同的具体名数概括或抽象出其共同的数量特征，出现抽象的数概念．这时的数都是一些不变的量，数学家称之为常数或常量，随着研究运动物体的数量关系的需要，数学家又揭示出量的新的表现形式——变量．19世纪中叶以来，现代数学进一步深入研究量的运算及其性质，揭示出量的又一新的表现形式——结构．当然，这并不说明量只有这4种表现形式，而是说明数学对量的研究不是停留在一个水平上，一个层次上，而是由低层次进入更高的层次，由表层进入更深的里层，它将随着数学的发展而不断呈现出新的形式．数学家不断揭示出量的新的表现形式：名数、常数、变数和结构，成为不同时期数学研究的对象.从抽象性角度来看，量的这些表现形式一个比一个更抽象，构成一个抽象的层次序列．数学哲学就是要从数学不断揭示出来的量的具体表现形式中，概括或抽象出反映该时代数学研究对象的一般特点，回答该时代数学是什么的问题． 正是数学对象这种特殊性和抽象性，才引起古希腊数学哲学家关于数学对象如何存在的争论．在古代，当数学对象由具体的名数发展到抽象的数概念时，人们第一次遇到抽象与具体或一般与个别的关系．亚里士多德（Aristotle）以前，许多哲学家把“一般”的数学对象当作像“个别”的存在物那样真实地存在着，引起理论上的一些困难，所以亚里士多德才提出数学对象如何存在的问题，并且阐明数学对象是抽象地存在于事物之中的．后来，“一般”与“个别”的关系更发展为中世纪关于共相（即普遍、一般）是否真实存在的唯名论与实在论之争．当数学进入研究结构的层次后，作为唯名论与实在论争论的继续，表现为现代数学哲学中形式主义与柏拉图主义关于无穷总体（或实无穷）的存在性和客观性问题． 正是数学对象抽象性程度的提高，才引起现代数学是研究纯量的科学还是研究结构的科学的争论，以及能否用“结构与质的对立”的范畴来代替哲学中“质与量的对立”这对范畴的争论．