古希腊数学

（ancient Greek mathematics）数学史专门术语．古希腊的地理范围，指希腊半岛、爱琴海群岛和小亚细亚西岸一带．古希腊人在这里定居之后，创造了自己的文明和文化．这是人类历史上最宏伟的文明之一，它对现代西方文化的发展影响极大．希腊文明大约可以追溯到公元前2800年，一直延续到公元600年．在古希腊，始终没有形成一个统一的国家．长时期内，它都是由许多大小奴隶制城邦组成．公元前6世纪以后，古希腊的生产力有较大的发展，形成了农业和手工业的分工．手工业的发展促进了各城邦之间以及东西方之间的商业和贸易的繁荣．许多城邦的新兴的奴隶主所建立的奴隶主民主政治，也促进了工商业的发展．随着经济和政治的进步，形成了丰富多彩的希腊古典文化．自然科学也得到相应的发展．在与埃及和巴比伦人贸易往来的过程中，希腊人学习到一些数学知识，在此基础上他们创造出光辉灿烂的数学． 古希腊数学，一般指公元前600年至公元600年希腊人所创立的数学．古希腊数学，大体可分为两个阶段：一般是从公元前600年至公元前300年，称为古典时期的希腊数学；另一段是从公元前300年至公元600年，称为亚历山大时期的希腊数学． 古典时期的希腊数学先后在几个中心地点发展起来，每个地点都有一批学者在一、两位杰出人物的领导下开展活动，这类组织称为学派．小亚细亚伊奥尼亚地区的米利都城，是希腊哲学和科学的诞生地，在这里产生了古典时期的第一个学派——伊奥尼亚学派．该学派的代表人物是泰勒斯（Thales， （M）），他是古希腊大哲学家兼数学家．他的世界观是唯物主义的，曾提出单一的宇宙物质基础．他研究星相学，发现了小行星，测定过太阳的运行，还预言过日蚀等．泰勒斯在数学方面的最大成就是开始引进演绎证明，这是划时代的伟大贡献，数学发展从此进入初等数学阶段．他发现了五条几何定理，并利用相似三角形的性质来测量金字塔的高度．伊奥尼亚学派的著名学者还有安纳西曼德（Anaximader）和安纳西门尼斯（Anaximenes of Miletus）等，他们对后来的毕达哥拉斯学派有很大影响． 在伊奥尼亚学派之后，出现了毕达哥拉斯学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，由大哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）创建，活跃于意大利南端的克罗托城．该学派把“万物皆数”作为信条，讲授音乐、天文、几何与算术四大科，把它们作为净化灵魂的科学．在数学方面，他们研究比例论（与音乐有关）、多角形数、初等数论问题和几何代数法等．毕达哥拉斯学派以发现勾股定理闻名于世，并由此导致不可通约量的发现．他们研究数学并不注重实际应用，而是为了探索世界的本原，从而追求宇宙的和谐性．该学派的习惯是将一切发明都归功于学派的领袖，而且对发明的内容秘而不宣．公元前5世纪以后，毕达哥拉斯学派的思想和发现才公诸于世．与毕达哥拉斯学派齐名的是意大利的埃利亚学派．埃利亚的芝诺（Zeno，（E））是该学派的代表人物．他针对当时关于物质世界的连续性、复杂性、无限性和运动性等朴素概念，提出了许多悖论，其中关于二分说、追龟说、飞箭静止说和运动场问题的四个悖论最为著名，它们给学术界以极大的震动，至今余波未息．埃利亚学派的工作为原子论思想的产生奠定了基础．以德谟克利特（Democritus）为代表的原子论学派受芝诺哲学思想的启发，提出“物质世界是由大量不可分割的元素（他们称之为原子）所组成”的观点，并把这种原子论思想应用于数学之中，成功地计算出某些平面图形的面积和空间图形的体积．德谟克利特的原子论思想是近代积分思想的先声． 公元前480年以后，雅典成为希腊的政治文化中心．这里的第一个学派是智人学派，其中包括各方面的学者．智人学派崇尚公开讨论或辩论的精神，他们研究的主要目标之一是用数学来解释宇宙现象．在数学方面，他们的主要贡献是提出并研究三大几何问题，即化圆为方、二倍立方和三等分任意角．问题的难点在于作图工具只准用不带刻度的直尺和圆规．希腊人的兴趣在于从理论上来探讨这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要一步．这个学派的安蒂丰（Antiphon）提出一种后来称为“穷竭法”的方法来解决化圆为方问题，其方法与中国古代刘徽的割圆术不谋而合．希波克拉底（Hippocrates，（C））、阿尔希塔斯（Archytas， （T））和梅内克谬斯（Menaechmus）等人都曾利用圆锥曲线和割圆曲线来解决三大几何问题． 智人学派之后，活跃在雅典的是柏拉图学派．柏拉图（Plato）是古希腊的大哲学家，在科学方法论方面有重要贡献．他很重视数学，强调数学在训练智力方面的作用，但忽视其实用价值．柏拉图特别推崇几何学，主张通过学习几何学来培养思维能力．柏拉图学派的数学贡献主要在无理数理论、一般比例理论、正多面体和圆锥曲线等方面．这个学派培养了不少优秀的数学家，如欧多克索斯（Eudoxus，（C）），他是古希腊最杰出的学者之一，其数学成就仅次于阿基米德（Archimedes ）．他创立了比例论，探讨了公理法，是欧几里得（Euclid）的前驱．柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是古希腊最伟大的思想家，他奠定了形式逻辑的基础，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路．亚里士多德在雅典创立了吕园学派．柏拉图学派重视数学的传统，对西方科学界有深远影响． 公元前4世纪，亚历山大帝国被其军事领袖瓜分为三个帝国，它们仍联合在古希腊文化的约束之下，史称希腊化国家．在三个帝国中，位于埃及的托勒密王朝最为强大．托勒密（Ptolemy）王在亚历山大城建造了当时世界上最大的博物馆和图书馆．从此以后亚历山大城成为希腊文化活动的中心，希腊数学开始进入亚历山大里亚时期．这个时期的特点，是数学逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科．几何学开始建立自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学．希腊数学在公元前4世纪到古希腊灭亡（公元前146年）期间达到它的全盛时期．在亚历山大城，除了举世闻名的博物馆、图书馆外，还设有天文台、植物园等机构，各地学者云集在此进行科学研究．公元前3世纪在亚历山大城出现了一批优秀的数学家，最杰出的代表是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯（Apollonius，（P））． 欧几里得总结了公元前7世纪以来古希腊数学的成就，用公理方法对几何学进行了系统整理，写成13卷《几何原本》，其中包括平面几何学、立体几何学、比例理论、初等数论、可公度与不可公度量的概念、穷竭法等．《几何原本》是一部划时代的伟大著作，它的历史意义在于它树立了用公理法建立演绎数学体系的最早典范，对以后数学的发展产生了极深远的影响．阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师，后人对他的评价极高，常把他和牛顿（Newton， I. ）、高斯（Gauss， C. F.）并列为有史以来三位贡献最大的数学家．他在数学上的最大功绩之一是建立抛物弓形等图形的精密求积法．据他的《方法》一书所载，他用力学实验测出数据，然后用穷竭法给出理论证明．阿基米德还研究了螺线及其他曲线、球、圆柱及立体的性质和求积法，他的工作对17世纪微积分的产生影响很大．此外，他在π值的计算和大数记法方面也都有重要贡献．阿波罗尼奥斯是著名的几何学家．他的《圆锥曲线论》把古典希腊时期的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，并做出许多新的贡献．他依据同一个圆锥的不同截面而得到三种圆锥曲线，并分别称之为抛物线、椭圆和双曲线．他深入研究了这三种曲线的性质和关系他的工作对17世纪几何学的发展有着重要影响．这一时期另一位有名望的学者是埃拉托斯特尼（Eratosthenes），他最著名的贡献是用巧妙的方法测量地球的大小，这是人类历史上第一次进行这样的实测．在数学方面，他建立了找出素数的方法，称为埃拉托斯特尼筛法． 希腊文化时代随着古希腊被罗马帝国吞并而告终．从纪元开始，希腊数学的活动能力逐渐衰退，罗马君王并不像托勒密王那样支持数学．因此，在这个时期产生了与古典时期性质全然不同的数学：几何学专攻那些与计算长度、面积和体积有用的结果．由于这些工作，唤起了算术和代数的新生．天文计算的精密化又引起三角术的发展．这一时期著名的学者有海伦（Heron， （A. ） ）、托勒密（Ptolemy ）、帕普斯（Pappus， （A） ）、丢番图（Diophantus）、尼科马霍斯（Nicomachus， （G） ）等．海伦在他的代表作《度量论》（Metrica）中给出了计算各种面积和体积的精确的或近似的法则，其中最著名的是依据三角形三边求三角形面积的公式——海伦公式．海伦把严密的希腊几何学风格与巴比伦、埃及的近似方法溶为一体，为实际应用提供了方便．托勒密主要是一位天文学家，在天文观测和计算的过程中，创立了三角术．在他的重要著作《天文学大成》中采用60进制，把圆周分为360°，给出了从0°到90°间隔每半度的弦表，证明了著名的托勒密定理等．他所建立的较为系统的三角术是西方三角学的一个重要来源．帕普斯以评注托勒密《天文学大成》和欧几里得《几何原本》而著称，后世数学中的许多材料都是从这些评著中得到的．他编辑了著名的《数学汇编》，其中介绍古典时期以来最重要的数学著作．丢番图的重要代表作《算术》是一部完全脱离几何形式的代数著作，它显示了作者在不定分析方面的高超技巧．丢番图还创立了一套缩写符号，这在古代是绝无仅有的.《算术》一书对后世代数学和数论的发展产生了深远的影响，其中许多问题已成为历代许多数学家的创造源泉．尼科马霍斯把算术作为一门独立学科来研究，他的《算术入门》是古希腊第一本脱离几何讲法的算术书，并且成为此后一千年间欧洲人的标准课本．著名的评著家赛翁（Theon， （A） ）和他的女儿许帕提娅（Hy-patia）也是亚历山大里亚后期的学者，他们曾对欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯、丢番图和托勒密的著作进行评注．许帕提娅在公元415年遭到基督教徒的野蛮杀害，她的死标志着希腊文明的衰落，许多学者从此离开亚历山大城．在5—6世纪，在雅典可以看到希腊数学最后短暂昌盛，学者们主要从事注释古典时期的名著．公元529年，东罗马皇帝查士丁尼（Justinian）封闭了所有的希腊学校，许多希腊学者离开东罗马．此时，希腊数学宣告终结．