数学结构

现代数学的基本概念。数学上所谓结构是对于有序集、群、环、线性空间、拓扑空间、概率空间、流形等许多数学对象，用集合和关系的语言给出的统一的形式。例如：序、合成、运算、拓扑等。用表示基本集的记号（Xl……Xn）及表示基本概念的记号（ξl……ξn），作出一定的类型和公理系统，这个类型和公理系统组，称为一个数学结构。当把具体的基本集和基本概念代入Xl…Xm及ξl…ξn时，如果满足类型的条件和公理，则此基本集和基本概念组称为具有数学结构的一个数学体系。各数学体系称为该结构的模型或该公理系统的模型。具有同一结构的两个数学体系称为同类的。按照它的结构称为群、环、拓扑空间等。数学结构是现实世界数量关系总体的一种数学抽象。本世纪30年代法国布尔巴吉学派把数学结构确定为整个数学的基础。这个学派从集合论出发，对全部数学分支给以完备的公理化。他们分析了现代纯粹数学所研究的各种关系，把最基本的数学结构归结为三类：反映整数集合或有理数集合中数与数的运算关系的代数结构；从实数集合任何两个实数都可以比大小而来的序结构；以及对空间的领域、极限和连续性等直观概念抽象的数学表述的拓扑结构。对于每一种最基本的结构如果再加上新的公理，又可构成一种新的结构，各种结构还可以相互交叉，组成一些新的关系，这样就不断衍生一些多重结构。布尔巴吉学派认为现代数学就是这样构造起来的。