数学危机

数学史上由于某些涉及到整个数学基础的问题和矛盾而使数学发展遇到的暂时困难局面。危机解决往往给数学带来新的进展，甚至引起革命性变革。一般认为数学史上出现过三次数学危机：（1）发生在古希腊时期，由无理数引起。古希腊毕达哥拉斯学派把数看成神圣的万物的本质，认为不可分的“数”构成了人间和宇宙的秩序。断言一切数都是整数，一切线段的比都是整数比。后发现事实并非如此，如毕达哥拉斯定理（勾股定理）：（a2＋b2＝c2。当两直角边长各为1时，斜边c＝■＝1.4142……是个无限不循环的小数，打破了原来数是整数，线段比是整数比的观念。表明几何的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，但数却可以由几何量来表示。此后，几何学在希腊数学中占有特殊地位。（2）发生在17世纪晚期，由微积分引起。牛顿和莱布尼茨分别创立的无穷小演算的微积分方法，成为解决问题的重要工具。同时关于微积分的基础的问题却越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是ΔS／Δt，当Δt变成零时的值，就提出一个问题：无穷小量究竟是不是零？就无穷小量的实际应用而言，它必须既是零又不是零，但从形式逻辑的角度来看，这无疑是一个矛盾。后经柯西（Augustill Louis Cauchy，1789—1857）、魏尔斯特拉斯（Karl Wei-erstrass，1815—1897）等人建立了极限理论，克服了危机和矛盾。（3）发生在19世纪末20世纪初，由集合悖论引起。康托尔创立的集合论很快为大多数数学家所接受，成为现代数学的重要理论基础。但1895年以后，康托尔本人以及罗素、理查德等人先后在集合论中发现了一系列悖论。如罗素悖论，即“一切不以自身为元素的集合所组成的集合”悖论。根据排中律，一个客体或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问它是不是自身的元素，即问是否属于它自己，看来是没有意义的。为了解决危机，数学家们提出各种理论方案，推动了数学基础问题的研究。参见“数学基础”。