数学语言
（Language of Mathematics）“数学语言”这个概念涉及两个显著的范畴：其一是数学的语言属性，包括用哲学的方法为数学的本质和教学中的运用下定义；其二是自然语言在解决数学问题过程中的功能。以下独立成篇的几段文章将对这两个范畴加以论述。1数学的语言属性和教学法上的运用不同的哲学流派辅之以不同的心理学学派产生了不同的教学方法。在数学上，不同的哲学流派之间的分岐主要表现在对符号体系（即语言）的地位和数学本质的存在模式（本体论）的看法上。形式主义把数学仅仅看作是一种句法和“游戏规则”的体系，其教学法不同于那种把数学作为一种固定的模型而加以演绎的方法。各种学派的分岐还在于对内容的选择和教学法的推荐孰轻孰重的争论上。有一种形式主义的观点认为，人们应该把重点放在数学的公理基础和句法上（汤姆，1970）。可是，强调数学的模型理论，将导致寻求并创造某些抽象的数学本质通过例证而加以说明的模型。例如，盖坦高运用奎泽内尔棒教自然数，从而把皮诺公理通过例证而说明了。杰·戴安思发展了多基面模型以表达数字的位值；或者特达尔几何学识别符号（LOGO）中的摹仿都是这方面的范例（艾贝尔森和第塞沙，1981）。在这种例证法教育中，物质范畴作为参照构架范畴而使用，用来描述数学语言的抽象构架范畴。学生首先通过物质范畴中的语义来学习正规符号系统的语义，而例证法模型融入了符号系统的粘合性。使用这种模型意味着数学具备其它任何语言体系所有的特征，即句法和语义。皮亚杰重视结构过程，这使他似乎最接近数学上的直观主义学派。可是皮亚杰自己曾对逻辑学王国和心理学领地作了明确的区别，前者是基本点或合法性，后者是原因说和发生论。（佩斯和皮亚杰，1966）。像直观主义那样，皮亚杰的发生认识论在其本质上也呈结构特征，但其焦点在于人类发展的产物——数理逻辑的结构上（见Geuefic Epistemology:Piaget′s Theory）。尽管皮亚杰本人没有直接从事教育工作，但他有关儿童通过自主活动和经验而能获得数学运算结构的许多观点已广泛地被小学所接受。2.在解决数学问题中的自然语言及其作用在这个方面，应该认清两个各自独立的观点：（1）借助自然语言学习数学的过程；（2）数学在其它自然语言描述的领域中的运用。2.1学习儿童学习数学语言总要比学习自然语言来得迟，一般发生在学校教育过程中。在数学学习中，自然语言成为一种元语言，以后又成为通向用数学语言形式表述的概念的第一步。几个研究例子证实，儿童在学习数学中往往依赖于自然语言中的一些关键词语（泽曼和里斯，1972）。这些研究表明，如果数学运算符号是“＋”，配以“增多”、“总计”、“增加”、“买进”等词语，或者在运算符号是“-”时，添加诸如“取走”、“损失”、“减去”等词语，对问题的解决大有裨益。否则，就会增加解决问题的难度。然而，应当注意的是，用上述种种词语来帮助认识“+”和“一”符号，只能说是个半错半对的方法，它可能会影响对高程度数学的学习。譬如，在带有符号数字的运算中，上述提到对“+”、“-”符号的词语解释就会变得毫无意义。另外，如果在“文字问题”的课文中，只提及上述那些关键词语而不辅之以直接的与之一致的数学运算公式，那可能会引起思维的混乱。因为在这种情况下，依赖于自然语言的提示会导致错误的结论。在学习的过程中，把自然语言的词组与数学运算公式（如“+”、“-”）联系起来，就会使诸如此类的错误蔓延开来。采用例证法模型教数学，可以减少如上所述由于依赖孤立的词语提示而造成的困难。每个例证法模型一经与相关的结构语言环境结合，既可注释自然语言的词语内容，又可描述数学形式。 2.2应用众所周知，在数学教学中，应用是个最棘手的问题。解答文字题的任务包括理解用自然语言描述的情景，然后借助数学表达方式和运算发现其它有关的数值信息。70年代初，解决问题的研究从总体性的试探法发展为更具体性的针对法。每个文字题都是由句法、语义和实效等因素所构成。近来，在分析这些因素之间的关系方面取得了一定的进展。举例说，一个加法文字题的逻辑结构，通常包括两组分离的物体或事件以及它们的连接。这种现象可以用多种语言手段来表达，如上下级关系、空间的或瞬时的连接，甚至动词也能用。试看下例：“两个男孩走向教室，三个男孩跑向教室，问有多少学生到了教室？”在这个例子中，“走”和“跑”表达了男孩的两组分离的行为，而“到”则连接了这两种行为（尽管如此，对“走”、“跑”和“到”的这种解释是针对某种特定的数学教学环境）。同样，各种加法和乘法的理论结构研究也有了进展，如信息处理系统（格列诺，美国，1980）；课文的语义分析（纳舍和凯特利尔，以色列，1977）；发生认识论的方法（凡格诺，法国，1982）。这些专家们一致认为，以上种种可变因素能够影响儿童的行为，他们因之将附加文字题分门别类，并预测他们的困难程度。更具体地说，他们将加法和减法的文字题分成三种不同的类型，即“结合”、“改变”和“比较”。每种类型代表着明显而不同的困难层次。以上这些发现具有重要的教学应用意义，因为他们准确地预测了儿童们在解决文字题中的行为，将数学教学应用这个全球性的问题转变为更加地区性的可分析的课题，对今后的研究来说前景乐观。参见：参考书目：P·纳舍（吴新伟译 龚治基校）