二次型

线性代数 的主要内容之一。起源于解析几何中二次曲线、二次曲面标准方程的研究。设 a ij 取自数域 F 且 a ij ＝ a ji ( i ， j ＝1，2，…， n )，则 F 上 x 1 ，…， x n 的二次齐式 f ( x 1 ，…， x n )＝ ，称为 F 上 n 元二次型，简记为 f ，它有矩阵表示 f （ x 1 … x n ）＝（ x 1 … x n ） A ( x 1 … x n )′ 。 A ＝（ a ij ） n ＝ A ′由 f 唯一确定，称为 f 的矩阵； A 的秩称为 f 的秩。一个只含平方项的二次型称为标准二次型。设 P 是 F 上的可逆矩阵， f 经变量的可逆代换（ x 1 … x n ）＝（ y 1 … y n ） P ′得到的二次型是 g ( y 1 … y n ），则称 g 与 f 等价。每个二次型等价于一个标准二次型。秩为 r 的复二次型等价于 ＋…＋ ，从而互不等价的 n 元复二次型共有 n ＋1类。每个秩 r 的实二次型有唯一的标准形 ＋…＋ －…－ ，从而互不等价的 n 元实二次型共有（ n ＋1）（ n ＋2）类。与 y 1 ＋…＋ y n 等价的实二次型称为正定二次型，十分有用。二次型理论在几何、物理等学科有广泛应用。通过坐标的正交变换所得标准形称为主轴形式，它是解析几何问题的自然推广。