关系方法

一种常用的研究方法．“关系”是现代数学的一个重要而基本的概念．“n元关系”定义为n个集合A1 A2，…，An的笛卡儿积集合 A1 × A2 ×…×A ＝｛（a1，a2，…，an）｜ai∈A，i＝1，2，…，n｝的子集合．当n=2，A1=A2=A时，就称为A上的一个二元关系．初等数学里揭示了许许多多的关系，其中不外乎是二元关系或多元关系，但是最常见最基本的是二元关系．例如，数或式的相等关系、三角形的全等与相似关系，实数的大小比较关系、方程与不等式的同解关系、命题问的等价关系等．有的关系还具有若干基本性质．如数的相等关系、式的恒等关系具有自反性（即（■ a） （a=a））、对称性（只要a=b，就有b=a）、传递性（只要a=b， b=c，就有a=c）．此外，如果在A中还定义了代数运算，那么A上的某个二元（或多元）关系可能还适合一些与这个代数运算相联系的性质．例如，对于实数的大于关系，有：若a＞b，则a±c＞b±c（a，b，c为实数）．因此，这种根据“关系”的定义，来确定对应、代数运算、函数、变换、映射等概念的方法称为关系方法．例如，A到B的映射f可以描述为A×B的这样一个子集S：（a，b）∈S当且仅当f（a）=b（其中a∈A，b∈B）. 恒等变换法（identical transformation）一种常用的研究方法．对问题给出的解析式作恒等变换，化为有利于解决这个问题的某种特定形式的方法．常见的恒等变换有以下若干方法： 1．因式分解法．在解题过程中，对某步骤出现的整式进行因式分解，促使问题得到解决的方法．例如，将方程x2＋ 5x＋6=0化为（x＋2）（x＋3） =0；当a，b为相异实数时，为了证明a5＋a5＞ a3b2＋a2b3，作差，并分解因式为 a5十b5—（a3b2＋a2b3）＝（a2—b2）（ a3—b3）．从而有利于解决问题． 2．配方法．利用恒等变换把一个式子化为有一个加项是完全平方的特定形式，从而解决有关问题的方法配方法可用于因式分解、求值、推导二次方程求根公式、研究二次函数的性质和图象、求二次函数的极值，也可用于解析几何有关问题的讨论等． 3．待定系数法（比较系数法）．为了确定某数学对象的表达式的各项系数，有时依据该数学对象间相等的定义，进行相应的表达式的已知系数和未知系数的比较，利用它们必然相等的性质而使问题得到解决的办法．此方法常用于有关多项式、复数、向量、矩阵等问题中．它是一种较为特殊的方法，只适用于表达式可归结为某种恒定形式的数学对象：例如，含相同文字的两个多项式恒等，当且仅当它们的同次项的系数相等；两个复数相等：a1＋b1i=a2十b2i，当且仅当a1 =a2 ，b1 =b2。