公理化方法

是整理与叙述知识的一种方法。人们在建立某一学科时，从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，应用逻辑推理规则证明出这学科中的其他定理或定律。这种建立科学体系的方法，叫做公理化方法。最早运用公理化方法的是希腊数学家欧几里德，他从少数的定义、公设、公理出发，应用逻辑推理的规则证明出一系列几何定理，建立了一个逻辑上严密的几何体系，写成《几何原本》一书。到十九世纪末，希尔伯特克服了欧氏几何的直观性，对欧氏几何公理体系进行了深入的研究，于1899年出版《几何基础》一书，提出了关于公理系统的三个重要问题：无矛盾性、独立性和完备性。无矛盾性就是不可能从所提到的公理出发，用逻辑推理而得到和其中一条公理相矛盾的结论，所以又叫相容性；公理的独立性，就是在公理和公理之间不可能互相导出，这也就是要保证公理的个数达到最少；公理的完备性是指，对整个公理系统来说，公理所涉及的对象的每一个命题都可由公理推出。公理化方法，无论在数学的历史上，还是在现代数学中，都有广泛的应用。它是一种总结、整理经验的有效方法。一个数学分支能否用公理方法叙述，已成为这个分支成熟的标志。因为公理化方法有以下的优点：①使建立起来的数学理论结构严密，条理清楚，且由易到难，由浅入深，完全符合人们认识发展的过程。②能够确定该学科中各种概念之间、命题之间的联系，将一些零散的材料，通过数学证明而组成一个紧密联系的有机整体。这本身就充分体现了“辩证法是关于普遍联系的科学”（《自然辩证法》第3页）。③可以改变原有科学体系中的某个（或某些）基本公理，按照逻辑的规律，引伸出一些新的科学结论，如非欧几何。恩格斯曾说：“如果我们有正确的前提，并且把思维规律正确地运用于这些前提，那末结果必定于现实相符”（《马克思恩格斯全集》第20卷，第661页）。正因为这样，公理化方法不但成为数学研究中不可缺少的重要工具，而且在力学、物理学的一些著作中也都效仿它，把已有的知识组成一个演绎的逻辑体系。“二十世纪以来，公理化方法已经获得了巨大的发展，几乎所有的数学与逻辑学领域和物理学与其他科学的某些分支都经历了公理化的分析。”（贝尔纳斯：《公理集合论》，阿姆斯特丹，1958年英文版第3页）现在，公理化方法已经成为科学数学化的一个重要特征。