对折法

即将平面图形（或其局部）沿某直线对折，得到它的轴对称图形，然后与原图形联系，通过对应元素之间的等量关系，找到解题途径的一种学习方法。此种方法简单易行，可收到事半功倍的效果。在学习平面几何时，常可用“对折法”。例如，用“对折法”进行线段计算：矩形ABCD中（如图62—（1）），AB=a,BC=b,M是BC的中点，DE⊥AM, E是垂足，求DE的长。此题解法较多，但以对折法为最简便。解：将矩形ABCD以BC为轴对折，得到矩形AA′D′D。 AMD′为其对角线，在Rt △ADD′中，知AD = b, DD′＝2a,∠ADD′= 90°，要求斜边AD′上的高就很简便了。用对折法，还可以便于学者发现原图形中不易发现的原图形的性质，培养思维的创造力。例如，1990年3月山东第一次印刷的初级中学课本第二册几何的第162页（复习参考题七）的第8题：圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，过点K的直线与边AD、 BC分别相交于点H和M。求证：（1）如果KH⊥AD，那么CM=MB； （2）如果CM = MB，那么CH⊥AD。此题的传统证法是借助角的相等关系来实现的。现在考虑更简单的证法——对折法：沿BD分别将△ABD和△CBD对折，得到它们的对称图形△A′BD和△C′BD（如图62—（2）），由∠1＝∠2＝∠3, CK⊥BD可推得BCE⊥A′D，可得C为△A′BD的垂心，同样地，C′为△ABD的垂心，∴BC■E′⊥AD，再由三角形的中位线定理、逆定理及轴对称图形的性质，即可证得结论正确。由“对折法”在本题中的应用，可以发现：“圆内接四边形的两条对角线互相垂直时，它的每一顶点都是以这个顶点所对的对角线为轴以这四边形的另外三个顶点为顶点的三角形的对称三角形的垂心”。例如，此题中，C是△A′BD的垂心，A是△C′BD的垂心，…。