谱论
数学与计算机科学14 阅读
泛函分析 中研究算子谱的理论。算子谱的概念是有限维矩阵特征值概念的推广，例如设 X 为 巴拿赫空间 ， T 为 X 到自身的线性算子，其定义域为 D （ T ）， λ ∈ C ， I 为单位算子，如果线性算子 λ I － T 在全空间 X 上有有界的递算子，则称 λ 为 T 的正则点，记 ρ ( T )为正则点组成的集合，称 σ （ T ）＝ C － ρ （ T ）为 T 的谱集，简称为谱。 σ （ T ）中的点称为谱点，对谱点还可进一步分类。算子谱论的形成是由于大量实际问题在一定条件下可化归为数学上的代数方程，或微分方程，或积分方程等方程的求解问题，而这些方程的求解问题又可统一为某个线性拓扑空间 X 上的算子方程：( λ I － T ) x ＝ y 的求解问题，特别地，若 X 为有限维的空间，比如 n 维的线性拓扑空间，则线性算子 T 可用一个 n 阶方阵来表示，上述算子方程就是一个 n 阶线性方程组，它的求解问题已在代数学中得到了圆满的解决。当 X 为无限维空间时，问题就复杂多了，从20世纪初I.弗雷德霍姆对具有连续核的积分方程得到了与有限维情况相似的结果以后，关于希尔伯特空间上算子谱论和巴拿赫空间上算子的谱理论都得到了一系列成果。