双曲线的简单几何性质
数学与计算机科学17 阅读
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)