方程术

中国古算法．指《九章算术》中提出的一种解线性方程组的消元法．今举例如下：第八章“方程”第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”依术文列出方程如下：其消元过程如下： 1.“以右行上禾遍乘中行而以直除”，即以右行上禾3遍乘中行各数，然后从中行中累减右行两次，得 2.又乘其次，亦以直除”，意即以右行上禾3遍乘左行各数，然后从左行内减去右行，得 3.“然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除”，即以中行5遍乘左行，然后从左行内累减中行，得 4.“左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实．”99为下禾之实． 5.“求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实．余如中禾秉数而一，即中禾之实．”中禾之实为 6.“求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实．余如上禾秉数而一，即上禾之实．”上禾之实为 7.“实皆如法，各得一斗．”以上求得的上、中、下禾之实各为333，153，99．各除以法36，得为上、中、下禾一秉之实． 其中“直除法”就是两行对应数字相减，以达到消去其中一个数字的目的．刘徽的解释是“令少行减多行，反复相减，则头位必先尽”． 正负术 中国古算法．指正负数的概念及其运算法则．最早的文字记载见于《九章算术》“方程”章．《九章算术》在利用对增广矩阵进行初等变换解线性方程组时，遇到了减数大于被减数而不能在正数范围内实施减法运算的情形，从而引进了正负数的概念及其运算法则．“正负术曰：同名相除，异名相益．正无人负之，负无人正之．其异名相除，同名相益．正无人正之，负无人负之．”这相当于给出以下有理数的减法与加法规则： ±a—（±b）＝±（a—b）（同名相除）， ±a—（■b）＝±（a＋b）（异名相益）， 0 - （±a）=■a（正无人负之，负无入正之）； ±a＋（±b）＝±（a＋b）（同名相益）， ±a＋（■b）＝±（a—b）（异名相除）， 0＋（±a）＝±a（正无人正之，负无入负之）．这里的a、b，满足a＞b＞0．元朱世杰《算学启蒙》，又增加了正负数乘除法则． 和较术 亦称勾股和较术．中国古算法．指中国古代勾股定理应用的一个重要组成部分．“较”在中国古代数学中是“差”的意思．在勾股形中，设其勾、股、弦分别为a、b、c，且有a＜b＜c，若已知其中任意两个，则可求第三个元素，这是勾股定理的最基本的应用．若将a、b、c中的任意两个元素作和或差，并考虑到差为正数，则有 a＋b， a＋c， b＋c， b—a，c—a，c—b六种形式，在a、b、c和这六种表达式中任取两个为条件，都可以解出这个勾股形．这种命题方式及其解法就称为和较术．这一方法的起源最早可追溯到刘徽、赵爽的时代．事实上，他们在注《九章算术》和《周髀算经》时，就已经解决了这类问题中的一部分．在明代，这一方法又得到了进一步的发展，顾应祥、唐顺之等人又将其推广到三个元素的和较问题．