自回归条件异方差模型

大多数资产定价模型将资产的预期收益与其条件方差和协方差相关。在经验金融学中大量的文献，以及像1929年与1987年股票市场崩溃的事件都阐明了下述论点，即条件方差和协方差随着时间而随机变化。因而，要想理解预期收益的动态行为需要理解收益的条件异方差。 自从恩格尔（Engle, 1982年）富有启发性的工作后，ARCH（自回归条件异方差）模型被广泛地用于实现该目的。例如，参见博勒斯莱弗（Bollerslev )，邹(Chou）和克勒纳（Kroner),(1990年）的综述性文章，其中提到了ARCH模型在金融中的数以百计的应用。 形式上，令ξt为一个时间序列模型中n × 1的修正向量。一个ARCH模型规定： ξt=Ω1/2Z，（1) Zt～i,i. d.，独立于{ξt-kk=1,∞ (2)满足E(Zt)=On.1,E(ZtZ′t)=In×n且Ωt≡Ωt1/2Ωt1 /2=Ω(ξt1，ξt 2 ,…，t）.(3)在（1)—（3)条件下，给定过去的向量ξt， Ωt是ξt的条件协方差矩阵。条件（3)能够被很容易地放松。例如，通过允许Ωt依赖于其他事先确定的变量。 (1)—（3)允许的函数形式是多种多样的。幸运的是，一些经验性规则（例如由恩格尔1982年提出的检验ARCH的统计工具）能帮助我们选择一个合适的模型。这里有少量更为重要的程式化的事实。 (A）股票收益倾向于尖峰态分布，即比正态分布有更高的陡峭度［例如参见曼德尔布罗特（Mandel-brot) 1963年］。在一个ARCH模型中，Ωt的随机性使得ξt比Zt有更粗的尾。例如，如果Zt是正态的，那么ξt是条件正态（即给定Ωt），但却是无条件的尖峰态分布 (B）波动是聚类的；正如曼德尔布罗特（1963年）指出，“……大的变动经常紧随着大的变动，对任何一种符号，小的变动经常紧随着小的变动。……” (C）交易和非交易期都促成波动。例如，一般说来星期一收益反映过去72小时的信息，而星期四典型地反映了过去24小时的信息。星期一股票价格波动更高，一般经过周末和假期的股票价格波动更高的现象并不令人诧异。（参见弗伦奇（Freneh）和罗尔(Roll), 1986年）。 (D）股票价格波动随着坏消息的到来而加剧，随着好消息的到来而降低（布莱克，1976年）。固定成本提供部分解释。例如，当公司价值下降时，有债务的公司的杠杆率变得更高。但是布莱克认为股票价格变动对波动率的度量的影响过大，以致无法单独用杠杆作用来解释。然而，股票波动对好和坏消息的不对称反应通常称为“杠杆效应”。 (E）资产波动共同运动。布莱克（1976年）发现…不同股票波动的变化存在很多共同点。虽然高波动率的股票从某种程度上比低波动率的股票对市场波动更为敏感，但是市场波动变化1％，一般意味着每种股票波动变化1％”。不同国家股票波动和不同期限的债券波动率以类似方式相联系。例如参见哈莫，马萨里斯和恩加（Ng, 1990年）和恩格尔，恩加和罗思柴尔德（1990年）。 单变量模型 最广泛使用的单变量ARCH形式是GARCH（广义ARCH）模型。它规定 其中L是滞后算子（即Ljxt≡xt-j。为了保持2为负，ωt,β和αj系数一般被限制为非负博勒斯莱弗(1986年）证明，当且仅当■，且ωt是常数，令人惊奇地是，{ εt}是严格平稳的这样一个条件却较弱。 GARCH模型实际上反映了尖峰态分布和波动聚类事实（A）和（B)：由于α1 ＞0,ξt2越大，σ（t+1）2越大。从而大（小）的残差经常紧随着大（小）的残差。σt2的随机变化使得ξt分布比Zt有更粗的尾。(4)同样允许{σt2}一个丰富的序列相关结构。交易和非交易时期对波动的贡献反映在ωt项中。 由于是滞后变量的大小，而非符号决定2σt2GARCH模型并不十分适于反映“杠杆效应”(D)，这激发了纳尔逊( Nelson 1991年）的EGARCH（指数GARCH)。该模型规定 (1-∑i=1qβiLi )ln(σt2）=ω+ +(1+∑j=1, pαjLj ) ( θzt1+γ［zt-1｜-E｜zt1｜］）. (5)(θzt 1 +γ［｜z-1｜-E｜z-1｜］）项允许滞后的残差的符号和大小决定σt2，使得EGARCH可以反映“杠杠效应”。令{zn（σt2）}为一个ARIMA过程，具有与一个ARIMA过程相同的平稳条件。对于矩阵公式，参见纳尔逊(Nelson, 1991年）。 GARCH和EGARCH都已经广泛地应用于金融数据当中，通常与ARCH-M（均值ARCH)模型相结合。ARCH-M模型中收益序列的条件收益是其条件协方差矩阵的一个函数——参见博勒斯莱弗，邹和克勒纳(1990年）的评述。 多变量模型 多变量的GARCH模型规定 （1-∑=1,qBiLi )vech［Ωt］=W +∑j=1,pAjLjvech［ξtξ′t］，(6)其中vech(·）代表一个对称矩阵下半部分的列的叠加。W ,B和Aj是1/2(n +1 )n ×1/2（n+1)n系数矩阵。这个模型阐明了多变量ARCH模型面临的主要挑战，换句话说，达到节约的目的。即使Wt是常数，式（6)中不同参数个数是(n +1 )2·n2(p+q+1)/4;随着n增加，它将呈爆炸性增长，这使得博勒斯莱弗、恩格尔和伍尔德里奇（Wooldridge) ( 1988年）将式（6)特殊化为 Ωt=ω + ββ⊙ Ω-1+α (⊙ ξt-1ξ′t-1，(6)′其中⊙代表元素和元素乘积ω、β和α是n× n非负定对称矩阵。式（6)′令Ωt的第ij元素为观测到的ξi、t,ξj,′S的一个分布滞后。这个模型有（3/2)(n+1)n个参数（远比式（6)中容易处理），但是由于每个资产波动仅依赖于它的滞后收益，因而（6)′并没有反映出上面提到的不同资产间波动的共同运动（E)。 波动的共同运动暗示着存在一些共同因素可能决定资产收益的协方差。这启发了恩格尔、恩加和罗思柴尔德推导因素ARCH模型，它规定 Ωt=Ω+∑k=l, Kβkβ′kλk, t,(7)Ω是个n×n非负定对称矩阵，βk是n×1向量。λk,tk= 1……,k是决定Ωt变化的共同因素，且是滞后残差的非负函数。恩格尔、恩加和罗思柴尔德证明λkt和由最初n种资产形成的某些证券收益的条件方差相联。通过假设这些“因素——表示的证券组合”为单变量ARCH表示，这个模型就完成了。这些证券组合的条件异方差决定了所有资产的条件协方差结构 其他作者（如斯沃特（Sckwert）和塞甘（Seguin )1990年）建议采用其他形式的因素ARCH模型。因为因素ARCH模型不仅达到节约的目的，而且反映共同的波动运动，它们在经验金融中的有用性将得到证明。 其他问题在ARCH模型当中有很多未解释的问题。其中最重要的问题是我们既没有很好地理解最大和拟最大似然估计值的有限样本性质，也没有很好地理解其一致性和渐进正态性的性质。关于这些问题的最近工作，可以参见例如，盖韦克（Geweke,1989年）和拉默斯戴恩(Lunzdaine, 1990年）。最近关于ARCH其他理论的进展包括用多变量GARCH模型对冲持久性的研究（博勒斯莱弗和恩格尔，1989年）；对非指定的ARCH模型产生的条件协方差阵估计的研究（纳尔逊1990年b)；对ARCH模型和I TO过程间联系的研究（纳尔逊,1990年a)，在波动预测中结合期权价格中信息的研究（如戴(Day）和刘易斯（Lewis) 1990年），以及对非参数ARCH模型的研究（如帕甘（Pagan）和施沃特1990年，加朗（Gallant )罗西（Rossi）和陶切(Tanchen),1990年）。90）年代初期，对ARCH的研究十分活跃在资产定价模型中条件二阶矩的重要性暗示着这种趋势将继续下去。 丹尼尔·B·纳尔逊(Daniel B. Nelson)著 郭明泽 译 王福重校参考文献：