假设检验

一种基本的统计推断形式。又称统计假设检验。 数理统计学 的一个重要分支。假设是指关于总体分布的一项命题 。例如，一群人的身高服从 正态分布 N （ μ ， σ 2 ），则命题“这群人的平均身高 μ ≤1.70（米)”是一个假设 。又如，有一批产品，其废品率为 p ， 则“废品率 p ≤0.03”这个命题也是一个假设。假设是否正确，要用从总体中抽出的样本进行检验，与此有关的理论和方法，构成假设检验的内容。 设 A 是关于总体分布的一项命题，所有使命题 A 成立的 总体 分布构成一个集合 H 0 ，称为原假设（常简称假设）。使命题 A 不成立的所有总体分布构成另一个集合 H 1 ，称为各择假设。如果 H 0 可以通过有限个实参数来描述，则称为参数假设，否则称为非参数假设（见 非参数统计 ）。如果 H 0 （或 H 1 ）只包含一个分布，则称原假设（或备择假设）为简单假设，否则为复合假设。对一个假设 H 0 进行检验，就是要制定一个规则，使得有了样本以后，根据这个规则可以决定是接受它（承认命题 A 正确），还是拒绝它（否认命题 A 正确)。这样， 所有可能的样本所组成的空间（称为样本空间），被划分为两部分 A 和 R （ A 的补集)，当样本 x ∈ R 时，接受假设 H 0；当 x ∈ R 时，拒绝 H 0。集合 R 常称为检验的拒绝域， A 称为接受域。因此选定一个检验法，也就选定一个拒绝域 ，故常把检验法本身与拒绝域 R 等同起来。 J.奈曼与E.S.皮尔森合作，从1928年开始，对假设检验提出了一项系统的理论。他们认为，在检验一个假设 H 0时可能犯两类错误：第一类错误是真实情况为 H 0 成立，但判断 H 0 不成立，犯了“以真为假”的错误。第二类错误是 H 0 实际不成立，但判断它成立，犯了“以假为真”的错误。通常人们不希望轻易拒绝 H 0 。例如工厂的产品一般是合格的 ，出厂进行抽样检查时不希望轻易地被认为不合格，即犯第一类错误的概率不能太大，于是在限定犯第一类错误的概率不超过某个指定值 a （称为检验水平）的条件下，寻求犯第二类错误尽可能小的检验方法。 基于奈曼-皮尔森理论及统计决策理论，提出了一些优良性准则，来比较为检验同一假设而提出的各种检验。较重要的有一致最大功效（UMP）准则和无偏性准则，把统计决策理论中容许性、同变性、贝叶斯决策、最小化最大等概念引进到假设检验中来，得到容许检验、同变检验、贝叶斯检验和最小化最大检验等。寻求在一定准则下的最优检验是十分困难的，何况这种最优检验有时并不存在。于是提出了若干依据直观的推理法，得到相应的拒绝域，其中最重要的是似然比法。 似然比检验是运用与最大似然法类似的原理，得到似然比检验法。用似然比法导出的重要检验有：① U 检验。若总体服从正态分布，方差已知，检验总体均值是否等于（大于等于或小于等于）某个值时，使用U检验。② t 检验。若总体服从正态分布，方差未知，检验总体均值是否等于（大于等于或小于等于）某个值时，使用 t 检验。③ F 检验。若两个总体均服从正态分布，检验这两个总体的方差是否相等（大于等于或小于等于）时，使用 F 检验。在方差分析中广泛使用 F 检验。