二次型性能指标

控制系统的性能指标泛函（函数的函数）为系统状态向量x( t)和控制向量u( t）的二次型函数（由变量的平方项与两个不同变量的乘积项之和所组成的函数）对时间t的积分，即 式中x(t)——n维状态向量； u(t)——m维控制向量； to、tf——分别为系统开始、结束控制时刻； x( t )、u(t）——对应向量的转置； x(tf)——终端状态向量； Q(t）——n × n对称矩阵； R(t)——m ×m对称矩阵； S (tf)——n× n对称矩阵； xT(tf)S(tf）x（tf)——终端误差项，如导弹的脱靶量；xT(t）Q（t)x（t）——控制过程的偏差项；uT(t)R(t）u（t）——控制能量项，即最优控制u（t）所 施加的约束。 Q(t）一般是半正定矩阵，即对于所有的x1( t)、x2( t )、……、xn（t）值二次型函数xT(t)Q(t)x(t）的值都是非负的（即大于及等于零）；如果xT(t)Q(t）x（t)等于零，则x1(t)、 x2（ t)、……、xn ( t）中至少有一个值不为零。 R(t）是正定矩阵，即对于所有的u1(t)、 u2(t)、……、um（t）值二次型函数uT(t)R(t）u（t）的值均大于零，仅当全部u1(*t)、 u2( t )、 ……、 um( t )都等于零时uT(t)R(t）u（t）才等于零。 Q(t)、 R(t)都是权矩阵，可以通过选择权矩阵Q(t)、 R( t）来使其阵元素对x、u的各分量加不同的权（即乘以不同的系数），来使拟定的最优控制向量和性能指标函数都满足给定要求，从而获得一个最优系统。 在分析设计最优系统时通常要使二次型性能指标J为最小，这意味着要求终端误差、控制过程中的偏差和控制能量综合起来比较小。