资产组合分析

许多评论者仅仅将马尔科维茨（Markowitz， 1952年）在30多年前出版的一篇开创性文章视作现代金融投资理论的发端。如果知道马尔科维茨对于资产组合选择分析的均方差法在最近20年来，特别是在经验研究中所占据的统治地位，这一点便不足为奇了。但是，在不确定性条件下的金融投资理论远远超出了这个特殊模型，而且也及时获得了长足的发展。在本辞条中，首先将考察纯粹资产组合模型，包括单周期型和时际型。之后将考察消费投资形成。 Ⅰ 纯粹资产组合分析 A.单周期模型 尽管说均方差模型“支配”着单周期的分析，但最好还是用一种直接应用理性选择理论的方法来开始研究，该方法又称为预期效用资产组合模型。 预期效用法。以具有初始资本w0＞0的周期为起点，假设投资者对于周期末的财富分布有理性偏好（在冯·诺伊曼-莫根施特恩（von Neumann-Morgen-stern，1944年）的意义下），因此可以用定义于周期末的财富w上的效用函数u来表示。这样，投资者的问题是使E［u（w）］极大化，此处E表示期望算子。令r（一般是随机的）为在机会i中每单位投资的收益，z为在机会（资产、有价证券）t中的投资量（i=1， ...，m），我们可得其中第二个表达式是预算约束。对z1求解第二个表达式并将其代入第一个等式，投资者的问题变成满足 各种各样的约束条件这里有几点需要说明。首先，在关于w的表达式中，我们隐含地假设了一个完全市场，这里没有交易费用和税收、有完全可分性、有一个竞争性证券市场、不变规模报酬，而且投资者可以充分利用卖空（负持有）得来的收入。这些是标准的假定，将始终被保持。其次，如果某种证券在持有期内是无风险的，这就实现了上文提到的下标i=1；在这种情况下，（1）式中前m-1项表示由风险持有而带来的超额赢利（超过一个完全无风险的资产组合所能提供的赢利，此外还可提供一个全面的无风险资产组合，当然这个超额也可以是负的）。第三，通常假设（从经验观点来看是相当无关紧要的）投资者偏好宁多勿少，而且厌恶风险，也就是说 u′＞0， u″＜0 （3）最后，约束条件（2）式一般指由制度带来的、亦或自身产生的有关借款（例如边际需要）、卖出期货合同、偿付能力（像Pr{w≥0}=1）等方面的壁垒。 P1的解通常记作z* （w0）=z2 （w0 ）， .，zm（w0）。它在下面的各种单纯条件下存在，这些条件是：使可动用证券只能获得有限收益的一个集合、“来之不易的钱”和一个偿付能力约束。无套利条件或“来之不易的钱”条件排除了两种可能性，其一当净投资非正时，赢得w≥0，其中Pr{w＞0} ＞0；其二是当净投资为负时，赢得w=0。给定存在性时，（3）式的第二部分（u的严格凹性）蕴涵了最优赢得分布w*（虽然不一定是最优资产组合z*）是惟一的。 定义a（w）（绝对风险厌恶函数）和r（w）（相对风险厌恶函数）为 a（w）≡-u″（w）/u′（w），r（w）≡wa（w）阿罗（Arrow， 1965年）证明了：若E［r2］＞r，当只有两种资产可获得（一种有风险，一种无风险）时，则由于这一结果一般不能推广到有许多风险资产的情况（卡斯（Cass）和斯蒂格利茨（Stiglitz， 1972年），因此，对于给定的风险资产的一种资产组合的主流看法是，作为正常商品（相对于低档商品而言）的经验观察强有力地支持下述概念：绝大多数投资者的偏好除了（3）式给出的以外，还具如下性质 a′（w）＜0 （4）然而除此之外，对于投资者关于财富的偏好函数，我们就没有什么可说的了。 由于性质（3）和（4）为个别性留下了很大余地，人们不大可能一般地谈论P1的解——除了最优资产组合的确将是多样化的。这种观察可能是伯努利（Ber-noulli， 1738年）在他鼓吹福利的对数测度的学术论文中首先作出的。 然而还有两种情况特别有意义。其一是最优投资政策与初始资本是成比例的情况。这种情况发生的条件是，当且仅当效用为幂函数族（等弹性族）之一元时，即这里依次蕴涵了而且又蕴涵于常值相对风险厌恶［对于上述函数族，r（w）= 1-γ］。于是最优政策就成为这样的形式 对于全部i， γ， zi*（w0）=x*iγw0（6）其中x*iγs是对应于与在各种资产中的投资成比例的常数。 第二个特殊情况是线性最优投资政策（这时（6）式显然是一个特例）。这种情况发生的条件是，假设无风险的资产或资产组合是可得的，当且仅当偏好显示出线性风险容许［a（w）-1是线性的］或等价地，显示双曲绝对风险厌恶，即对应于这三种情况的最优政策给定为且称之为显示分离性质。这个名词是由风险资产的混合（zi* （w0）/z*j（w0）的比率，任意i、j≥2）与初始财富w0（它与偏好参数φ也是无关的）无关而来的。在没有无风险的资产或资产组合时，分离只能针对二次效用来求得，或者说在（7b）式中γ=2。于是我们得出一个值得重视的观察，对于任意的报酬分布，只有当两个初始财富水平不同的个人分摊概率置信度，要么每一方都可得到无风险资产组合，并且两个个人的偏好函数属于有公共γ的（7a）或（7b），或者属于（7c），要么两个投资者都有二次效用时，他们会愿意将风险资产比例的选择权委托给一个共同基金公司。当面临风险性投资时，个别性显得确实顽强！ 以报酬分布而不是以偏好为基础的分离只能在高度限制性的假设之下发生（罗斯（Ross）， 1978年）。最值得注意的是当报酬是正态分布时的情况，这将在下一节中讨论。 均方差法 均方差模型的实质是，在其余条件相同时，人们偏好较高的期望报酬，而且偏好较低的报酬方差。另外，通常假定在标准差-平均值空间中的无差异曲线是凸的。由于一个资产组合的报酬r为w/w0-1，如果定义x为投资w0在机会i中的比重，即xi≡z/w0，并且利用（1）式，我们可得到 更形式地讲，可以这样认为，均方差法是假设了一个偏好函数f（E［r］，V［r］），其中V［r］是r的方差，使得（9）式中前两个性质提供了均方差支配的核心概念之基础：当且仅当 Ei ≥ Ek，Vt≤Vk而且至少有一个不等式是严格的时，我们就说报酬分布r是MV-支配分布rk。在给定的可行资产组合集中，受支配的资产组合被称为无效的，而不受支配的资产组合被称作有效的。（9）式的前两个性质由此而产生一个赢得分布的偏序，它在某种意义上类似于各种各样的随机支配准则。 当不存在无风险的资产或资产组合时，对于有效资产组合集，E［r］是（反常情况除外）σ［r］（=的严格凹函数。存在无风险资产时，任何有效资产组合p的期望报酬由下列线性方程给出其中A是一个完全由风险资产组成的有效的资产组合。换言之，所有有效的资产组合都是无风险资产和资产组合A的合成，即分离性质成立。 正如上文提到的，马尔科维茨被看作是均方差资产组合理论的开创者，虽然托宾（Tobin， 1958年）在早期也有重要的贡献。除此以外，均方差法本身还有另外三个独立的、很有意思的来源。马夏克（Marschak，1951年）用泰勒级数的展开式并取其前三项作为报酬期望效用的近似值，得出了 E［r］-b（E［r］）2-bV［r］，b＞0这是均方差函数f（E， V）的适当形式。罗伊（Roy，1952年）认为应使超过某个灾难水平d的概率最大化，即 maxPr { r＞d}运用切比雪夫（Chebychev）不等式，他得出运算公式这个公式显然抓住了均方差结构的本质。最后，弗罗因德（Freund， 1956年）通过假设负指数效用（见（7c））以及正态分布报酬，得出公式其中，经最优化后，k的每个允许值都蕴涵着一个均方差有效解。 均方差模型与期望效用准则在两个主要情况上是一致的。其一，对于任意的报酬分布，效用必定是二次的［u（w）=w-bw2， b ＞0］，不幸，这意味着对于w≥b/2有u′≤0，而且这个风险资产是低档品（见（8b））。其二，当报酬是正态分布时，一致性只在期望效用积分存在的那些偏好子集出现（其必要条件是u（w）定义于整个实线上——这样就将例如族（7a）排除在外）。 虽然正态分布报酬在有限责任的范围内是实际报酬的一种坏近似，二次效用更不尽人意，但均方差模型仍然被最为广泛地使用着。看来这可归诸于三个主要性质。第一，MV-有效的资产组合是（就像期望效用极大化的风险厌恶资产组合）非常多样化的。第二，均方差模型使得投入需求更适度，并且在计算上比（非二次）期望效用模型更为简单。（什么样的经营者会理解他（她）应极大化期望效用的策略？）第三，规范性假设看来在许多情况下为充分多样化的资产组合报酬提供了一个合理的近似值，并且，在有限值域内二次函数常常是任意函数的令人满意的近似。 B.多周期模型 本节介绍这样一类模型，其实质是处理大量的序列资产组合选择。因此我们将用下标t表示周期t；wt表示在周期t结束时的财富。假设报酬ri与t（但不与i ）无关。 长期增长模型。令Rt（xt）≡1+ rt（xt）；在这里称Rt是周期t的财富相对量因此在将上一周期的赢得完全再投资的条件下，有这里我们假设对所有的t有Rt（xt）≥0。令如果观察到的变差1nR1，1nR2，…（在适度限定下）服从大数定律，我们就得到这就是财富相对量的对数期望值，它是你的资本在长期中将发生什么的主要决定因素。 由（11）式看来，自然会想到应该使G的期望值最大化。因为与任何其他（有显著区别的）策略比较，这样做几乎肯定会在长期中带来更多的资本。欲做到这一点，充分必要条件是：亦即一次求解一个周期的（12）式。注意（12）式在每个周期里都等价于极大化Rt的几何平均值。这个模型是由威廉斯（Williams， 1936年）、凯利（Kelly， 1936年）、拉塔内（Latené， 1959年）以及布雷曼（Breiman， 1960年）各自独立发现的。 长期增长模型有几个值得注意的性质。第一，决定规划（12）中蕴涵了也蕴涵于在每个周期中财富的对数效用。因而，它与一切显著不同的偏好（包括均方差模型）是不相容的。换一个说法就是：几乎肯定，持有更多的资本并不蕴涵较高的期望效用（或者相反）。许多作者有时混淆了这一点。 第二，“增长-最优”投资政策不仅与初始财富成比例（12）式还表明它是近视的，亦即它与现周期之外的报酬分布无关（即使在报酬弱依赖于时间变化时也正确）。最后，当相对风险厌恶等于1时，这个模型告诉我们，若想通过资本积累达到长期看好，就必须回避风险；而且几乎可以肯定，或多或少的风险厌恶都会使人保有相对于对数风险厌恶时更少的资本。 终端效用模型。现在考虑的情况是投资者对于在某个（遥远的）时间终端h的财富w的偏好是由效用函数Uh（wh）表示的。令wn为投资者在n个周期运行后的财富，在每个周期获得的收入完全再投资的条件下，我们得到其中，为方便起见，我们设h=0。将Un（wn）定义为wn能够带来的最大期望效用，可得出递归方程因而，Un（wn）是在几个周期运行后的财富的导出效用或是诱导效用。 组（13）解的存在性条件与单周期模型的相同；当U0有性质（3）时，诱导函数U1，…， Un也同样有性质（3）。一般来讲，Un（wn）取决于所有的投入：U0、联合分布函数F1（r1），…，Fn（rn），以及利率r11，…，r1。但是，有两个特殊情况。其一，当U0（w0）属于（5）类时，Un成为U0的正线性变换，所以实际上 Un（w）=U0（w），n=1，2，…因而，在这种情况下，最优投资政策z*n（wn）只取决于当期投入、Fn （ rn）和r1n，因而是近视的。这一点是莫辛（Mossin， 1968年）首先证明的。 第二个特殊情况出现在利率遵从确定性过程时。于是当U0属于（7a）类而φ≤0时，Un只依赖于U0和r1 1，…， r1，这称之为部分近视。U。和z*n现由下式给出其中An=φ［（l+r11）…（1+r1n）］-1。对于族（7）其他情况，部分近视局部发生，即当wn大于或等于某个（正）下界时。 然而，终端效用模型最有意义的方面是一组很强的收敛性结果（哈坎森（Hakansson），1974年）。在很一般的条件下，我们可由（13）式得出Un收敛到等弹性族（5）的一个元，即此外，我们由此得到一个令人注目的结果，只要周期足够遥远，在各个周期进行再投资的个人应当遵从与他们的终端偏好无关的等弹性投资政策。 连续时间模型。因为在完全市场的假设下交易费用为零，自然应该考虑再投资决策之间越来越短的周期。在极限情况下，再投资是连续发生的。假定风险资产的报酬能够用扩散过程来描述，我们可得出，当一个给定的瞬时期望报酬使瞬时方差最小时，最优资产组合为均方差有效的。其直观的原因是，由于交易间隔缩短了，证券的价格在前两个时刻的变化越来越具有支配性（萨缪尔森（Samuelson）， 1970年）。最优资产组合也表现出分离性——如周期极短的报酬服从正态分布一样。但是，在任意固定的时间间隔中，由于复合效应，赢得分布通常是对数正态的。 Ⅱ 消费-投资分析 在消费-投资模型中，投资只是达到目的——未来消费和遗赠——的一种手段。因此，偏好定义于消费和遗赠计划c1，c2，…，cn和bn上，其中ct是在周期t中的消费水平，bn是在最后一个周期末的遗赠（假设在周期n死亡）。因而财富效用并不是最初效用，而必定是诱导效用或导出效用。当然，偏好可能是依与n有关的条件而定，并取决于环境s，在这种情况下，它们可以表达为其中通常假设函数Un5多少反映一个偏好，并且是严格凹的。通常对（14）式进行研究的形式是，（14）式是加性的或乘性的。对于加性和状态独立的情形（14）式可写作 u1（c1）+u2（c2）+…+u（c）+gn（bn）财富则由差分方程支配，其中yts是就业收入。 最简单的消费-投资模型是基于恰好是两个周期的，而且这个模型的好处是可以用来研究这样一类问题，诸如“投资者怎样对付投资风险的递增？”回答是任意一种方式——例如参见罗思柴尔德（Rothschild ）和斯蒂格利茨（1971年）。对于多周期的阐述，必须补充说明的问题是投资者的寿命周期的概率性质以及报酬要服从的随机过程。这个问题的动态规划形式是相当冗长的（例见哈坎森，1970年，1971年）。最一般的模型都假定一个状态-或有机会集，其中的状态服从马尔可夫（Markov）过程。 如果偏好不是加性的就是乘性的，ut （ ct）属于族（7a）而且φ≤0，则分离性仍旧保持；倘若φ＜0，则假设-φ起维持糊口水平的作用。另一方面，非负性消费约束一般是有约束力的，从而对均方差模型施加了难以克服的问题。然而，就像在纯粹再投资模型中那样，均方差效率通过移动一个连续时间公式而被恢复（默顿（Merton）， 1971年）。