组合拓扑学

组合拓扑学也称代数拓扑学。作为拓扑学的一个分支，它以组合的观点研究几何图形在连续变形下的不变性质。组合拓扑的思想可以追溯到莱布尼兹（Leibniz，G.W.）。早在1679年莱布尼兹在他的《几何特性》中试图阐明几何图形的基本性质，他称之为位置几何学。以后欧拉（Euler，L.）、黎曼（Riemann，G.F.B.）、克莱因（Klein，F.）都作出了贡献。至19世纪末，庞加莱（Poincare′，H.）系统地研究了几何图形的组合理论，为组合拓扑学形成拓扑学的一个独立分支奠定了基础。点集拓扑学的研究方法是把几何图形看作点的集合，再把集合中的元素按一定规律联系起来构成空间，而组合拓扑学则把几何图形看作由一些基本构件用代数工具组合而成。这种基本构件就是单纯形，或简称单形。n维欧氏空间Rn中的k+1个点｛v0，v1…，vk｝所张成的超平面σ，如果其任何真子集所张超平面维数都比σ的维数低，则含｛v0，v1…，vk｝的最小凸集就叫做一个k-维单形。显然O-维单形是欧氏空间中的点，1-维单形是闭线段，2-维单形为三角形，3-维单形为四面体。欧氏空间中一组单形组合到一起，如果满足（1）属于这个组的单形上的每个面均属于此组，（2）两单形相交，其公共部分为一公共面，则此组单形称为单纯复形或复形。复形K中的每个单形作为欧氏空间的子集，也是复形的子集。由这些子集构造拓扑、K成为拓扑空间，记为｜K｜，也称多面体。任意一个拓扑空间X，如果存在同胚h：X→｜K｜，则X称为可单纯剖分的。单纯剖分不唯一。对多面体｜K｜，增加K中单形的重心作新的顶点，所得复形K*，称为多面体的重心重分。设K为有限复形，则除O-维单形外，它的每个单形恰有两种序向，从中确定一个序向后则所讨论的单形就成为定向单形。K的q-维空向单形的全体构成一个自由交换群Cq（K），群中的每个成员叫作一个q-维链，Cq（K）称为q-维链群。与此同时，规定q维单形的边缘是按q一维单形定向诱导的（q-1）-维面相加而得的（q-1）一维链。边缘映照■：Cq（K）→Cq■1（K）确定一个同态，同态■的核记为Zq（K），称为q-维闭链群，用Bq（K）表示同态■：Cq+1（K）→Cq（K）的象，则Hq（K）＝Zq（K）／Bq（K）称为q-维同调群。由此发展成为称为同调论的数学理论。除此之外，组合拓扑学中还讨论了单纯逼近、连续变形的不动点原理及曲面分类等问题，得到了闭曲面分类定理：任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面添上有限多个环柄，或者球面挖掉有限多个圆盘而补上M■bius带，这些曲面之中的任意两个是不同胚的。在拓扑空间中引入微分结构，在1937年发展成微分拓扑学。包含组合拓扑学在内的拓扑学，连同泛函分析，抽象代数一起已经成为现代数学的三大支柱，影响着现代数学的发展。