微积分学

详细内容：数学中的基础分支。内容主要包括函数、 极限 、微分学、积分学及其应用。 函数 是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。17世纪后半叶，英国数学家I. 牛顿 和德国数学家G.W. 莱布尼兹 ，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础。19世纪A.-L. 柯西 和K. 魏尔斯特拉斯 把微积分建立在极限理论的基础上；加之19世纪后半叶实数理论的建立，又使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。 极限的思想方法可追溯到古代，3世纪，中国数学家 刘徽 创立的 割圆术 用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率π的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少 ，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现 。数列极限是函数极限的基础， 一个数列 a n 如果当 n 无限增大时， a n 与某一实数无限接近，就称之为收敛数列， a 为数列的极限，记作 例如，数列 的极限为0。 微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。若用 s ＝ s ( t )表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程 s 与时间 t 的关系，那么物体在 t ＝ t 0时的瞬时速度为 v ( t 0 )= ，并记 v ( t 0 )＝ s ′（ t 0），并称之为路程 s 关于时间 t 的导数或变化率 ，也可记 v ( t 0 )＝( )｜ t = t 0 。而物体运动的加速度 a ( t )＝ v ′( t )＝ s ″（ t ）＝( )。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。如果对每一 x ∈ I ，有 f ( x )＝ F ′（ x ），则称 F ( x )为 f ( x )的一个原函数， f ( x )的全体原函数叫做不定积分，记为 ，因此，如果 F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 ＝ F ( x )＋ C ，其中 C 为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[ a ， b ]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设 f ( x )为定义在[ a ， b ]上的函数，任意分划区间[ a ， b ] : a ＝ x 0 ＜ x 1 ＜…＜ x n ＝ b ，记 ，｜｜Δ｜｜＝ ，任取 x i ∈Δ x i ，如果有一实数 I ，有下式成立： ，则称 I 为 f ( x )在[ a ， b ]上的定积分，记为 I ＝ f ( x )d x 。当 f ( x )≥0时，定积分的几何意义是表示由 x ＝ a ， x ＝ b ， y ＝0和 y ＝ f ( x )所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。 图片 ‘ 联系微分学和积分学的基本公式是：若 f ( x )在[ a ， b ]上连续， F ( x )是 f ( x )的原函数，则 f ( x )d x ＝ F ( b )－ F ( a )。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使 f ( x )为初等函数，计算不定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯形法和抛物线法。